Positionieren Sie den Operator im Impulsraumgenerator

Positionieren Sie den Operator im Impulsraumgenerator

Wie erhält man den Ortsoperator in der Impulsdarstellung, wenn man den Impulsoperator in der Ortsdarstellung kennt? abgeleitet den Ortsoperator im Impulsraum unter Verwendung von Kommutatoren.

Ich möchte die Analogie der Äquivalenz zwischen Orts- und Impulsraum erweitern. Im Positionsraum sagen wir, dass Momentum der Generator von Translationen ist. Dies kann möglicherweise auf die Form der Impulsoperatoren hindeuten. Gibt es einen Generator einer Art infinitesimaler symmetrischer Transformation im Impulsraum, der Ihnen bei mehrmaliger Wiederholung die Position liefert?

Mit anderen Worten, betrachten Sie die Aussage "Impuls ist der Generator der Translation im Positionsraum". Ich möchte wissen, ob es eine äquivalente Aussage gibt, die besagt: " X ist der Generator der Translation im Impulsraum", dh X ist ein Generator der Impulsänderung. Ich sage vorläufig, dass dies etwas mit Kraft zu tun hat, weil Kraft in der Newtonschen Physik den Impuls ändert. Aber ich sehe auch zwei Gründe zu der Annahme, dass dieser neue Generator eigentlich etwas mit der Position zu tun haben sollte:

1 sieht der Ortsoperator im Impulsraum dem Impulsoperator im Ortsraum sehr ähnlich.

2 Impuls und Ort sollen eng miteinander verbunden sein, weil der k-Raum der Wellenzahl die Fourier-Transformation des Ortes ist. Es soll gleichermaßen informativ sein, sowohl im Positions- als auch im Impulsraum zu arbeiten.

Antworten (2)

Ja da ist. Lassen ψ sei eine Ortsraum-Wellenfunktion. Wir können immer schreiben

ψ ( X ) = 1 2 π ℏ ∫ D P   e ich P X / ℏ ψ ~ ( P )

Wo ψ ~ ist die entsprechende Impuls-Raum-Wellenfunktion. Eine Impuls-Raum-Übersetzung P ↦ P + Q sieht aus wie das:

ψ ( X ) ↦ 1 2 π ℏ ∫ D P   e ich P X / ℏ ψ ~ ( P + Q ) = 1 2 π ℏ ∫ D P   e ich ( P − Q ) X / ℏ ψ ~ ( P ) = e − ich Q X / ℏ ψ ( X )
was einfach durch den unitären Impulstranslationsoperator implementiert wird U Q := e − ich Q X ^ / ℏ ; der Generator solcher Übersetzungen ist per Definition
ℏ ich lim Q → 0 U Q − ICH Q = − X ^

dh der Generator von räumlichen Übersetzungen ist P ^ , und der Generator von Impulsübersetzungen ist − X ^ , Bestätigung Ihres Verdachts.

Ich sage vorläufig, dass dies etwas mit Kraft zu tun hat, weil Kraft in der Newtonschen Physik den Impuls ändert.

Das ist ein leichter Fehler. Wenn wir jedoch sagen „Impuls ist der Generator räumlicher Übersetzungen“, sprechen wir nicht über Dynamik ; Das heißt, wir sagen nicht: "Wenn Sie die Zeit vorwärts laufen lassen, bewirkt das Momentum, dass sich die Position ändert."

Vielmehr handelt es sich um eine tiefe Aussage speziell zur Hamiltonschen Mechanik. Als Lichtgeschwindigkeitsübersicht in der Hamiltonschen Mechanik jede differenzierbare Funktion F der Phasenraumvariablen entsteht ein Vektorfeld X F . Ein solches Vektorfeld hat ganzzahlige Kurven , die man in der Elektrostatik auch Feldlinien nennen könnte. Von dort aus können wir eine Karte definieren Φ F λ (als Fluss bezeichnet , der von generiert wird F ), was einen Punkt bringt ( X , P ) im Phasenraum und schiebt es entlang seiner Feldlinie um eine Strecke λ . Also, um es zusammenzufassen, reibungslose Funktionen → Vektorfelder → fließt.

Der von der Hamilton-Funktion selbst erzeugte Fluss repräsentiert die Zeitentwicklung. Der durch die Impulsfunktion erzeugte Fluss verschiebt jedoch einfach die Positionen aller Punkte im Phasenraum, und in diesem Sinne sagen wir, dass Impuls räumliche Verschiebungen erzeugt. In genau demselben Sinne würden Sie feststellen, dass die Position Momentumverschiebungen erzeugt.

Diese algebraische Struktur zwischen beobachtbaren Größen (die jetzt eher selbstadjungierte Operatoren als glatte Funktionen der Phasenraumvariablen sind) überträgt sich auf die Quantenmechanik; Die Zuordnung zwischen Einheitsoperatoren wie dem Übersetzungsoperator und dem Impulsverschiebungsoperator (die analog zu den Flüssen sind) und den Impuls- und Positionsoperatoren (analog zu den Generatoren) ist durch den Satz von Stone gegeben .

Weitere Informationen zu dieser Struktur in der Hamiltonschen Mechanik finden Sie möglicherweise in meinen verwandten Antworten hier und hier .

Der zweite Abschnitt ist eine Menge zu verarbeiten (aber er scheint wichtig und ich bin dankbar), aber der erste Teil ist genau das, was ich mir erhofft hatte, und er ist viel einfacher, als ich dachte. Vielen Dank! Geben Ihre beiden verknüpften Antworten (am Ende dieses Artikels) eine vollständige Diskussion des Themas ohne Lichtgeschwindigkeit ab dem Absatz, der mit "eher, es ist eine tiefgründige Aussage ..." beginnt? Oder gibt es einen Abschnitt in einem Lehrbuch, den Sie für die langsame Erklärung dieses Materials empfehlen können?
@ user310291 Ja, das ist größtenteils der Inhalt der beiden Antworten, auf die ich verlinkt habe. Die zweite enthält einige Bilder und ein GIF, die Sie möglicherweise hilfreich finden. Leider kann ich keine Ressource bereitstellen, die diese Formulierung der Hamiltonschen Mechanik abdeckt, aber die Differentialgeometrie nicht stark nutzt. Die zweite verknüpfte Antwort versucht, ein nicht so abstraktes Betriebsverständnis zu vermitteln. Und natürlich können Sie gerne weitere klärende Fragen auf dieser Seite stellen.

"Um sowohl im Orts- als auch im Impulsraum gleichermaßen aussagekräftig zu arbeiten", dies kann nur in den Systemen der freien Teilchen und der einfachen harmonischen Schwingung erreicht werden. Abgesehen von diesen beiden Systemen macht es die potenzielle Form sehr schwierig, im Impulsraum zu arbeiten.

Ich denke, das ist falsch. Es gibt viele Beispiele für starke Anwendungen von Impulsraumberechnungen: Beispielsweise werden Studien von Brillouin-Zonen für mehrere Festkörpersysteme und freie Elektronengase im k-Raum durchgeführt.
Das ist eine falsche Interpretation. Der k des Bloch-Wellenvektors bezeichnet die periodische Randbedingung für die r-Raum-Wellenfunktion, ψ ( X + A ) = e ich k A ψ ( X ) . Die Berechnung in der Nähe eines Atoms erfolgt im r-Raum für das abgeschirmte Coulomb-Potential.
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