Nicht unterscheidbare Teilchen, wenn sich Wellenfunktionen nicht überlappen

Die Antwort von By Symmetry ist richtig, aber ich glaube nicht, dass sie die Frage beantwortet, auf die Sie kommen.

Sie machen einen sehr häufigen konzeptionellen Fehler für Studenten, die zum ersten Mal etwas über Quantenstatistik lernen, nämlich dass Quantenteilchen nicht unterscheidbar sein „müssen“ und dass (Anti-)Symmetrisierung die Art und Weise ist, wie sie „dieses Bedürfnis befriedigen“. Aber das ist nicht der Fall - man könnte sich sicherlich ein Quantensystem aus mehreren Teilchen mit völlig identischer Masse, Ladung, Spin usw. vorstellen, bei dem die Teilchen jedoch in dem Sinne "unterscheidbar" sind, dass ihre gemeinsame Wellenfunktion weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist unter Teilchenaustausch. Solche Teilchen wären weder Bosonen noch Fermionen. (Tatsächlich tun Physiker der kondensierten Materie dies ständig, wenn sie magnetische Spinsysteme betrachten, und seltener Systeme von "Anyonen", die weder Bosonen noch Fermionen sind.)

Warum also betrachten Intro-QM-Lehrbücher (fast) immer nur bosonische oder fermionische Teilchen? Denn jedes einzelne Elementarteilchen im Standardmodell ist experimentell nachgewiesen entweder ein Boson oder ein Fermion. Erinnern Sie sich daran, dass jedes physikalische System einen zugeordneten „Hilbert-Raum“ hat, der die Menge von Quantenzuständen ist, in denen es physikalisch möglich ist, das System zu finden. Die Menge der total symmetrischen Wellenfunktionen bildet den "bosonischen Hilbert-Raum" und die Menge der total antisymmetrischen Wellenfunktionen den "fermionischen Hilbert-Raum", und alle bekannten Arten von Elementarteilchen werden durch den einen oder anderen Raum beschrieben. Aber ein allgemeinerer Hilbert-Raum wäre sicherlich logisch und mathematisch konsistent.

(Wenn Sie QM auf einem fortgeschritteneren Niveau studieren, werden Sie lernen, dass es tiefere Gründe gibt, warum bosonische und fermionische Theorien "natürlicher" sind. In diesen beiden Spezialfällen können wir einen sehr eleganten mathematischen Formalismus namens "zweite Quantisierung" verwenden. das erspart uns eine Menge Arbeit Spin- und Anyonic-Systeme sind in gewisser Weise schwieriger zu handhaben als Systeme von Bosonen und Fermionen, weil Sie keine zweite Quantisierung verwenden können - oder manchmal können Sie sie verwenden, aber in einem viel, viel ein komplizierterer Weg, indem das System auf eine bosonische oder fermionische „Eichtheorie“ abgebildet wird.

Jedenfalls ist dies eine langatmige Art zu sagen, dass alle Mehrelektronen-Wellenfunktionen immer antisymmetrisiert sind, egal wie weit sie entfernt sind. (Obwohl sich herausstellt, dass Sie diese Antisymmetrisierung nicht verwenden können, um Informationen schneller als Licht zu senden, also ist die spezielle Relativitätstheorie sicher.) Aber erinnern Sie sich, dass in der Quantenmechanik nur innere Produkte physikalisch beobachtbar sind, nicht die Wellenfunktionen selbst. (Eigentlich ist nur das Normquadrat eines inneren Produktes physikalisch beobachtbar.) Wenn die Teilchen keine räumliche Überlappung haben, stellt sich heraus, dass, wenn wir auswerten wollen$\langle \hat{X} \rangle$, erhalten wir dieselbe Antwort, unabhängig davon, ob wir die richtige, antisymmetrisierte Wellenfunktion oder eine hypothetische unsymmetrisierte Wellenfunktion verwenden oder nicht. Obwohl also die unsymmetrisierte Wellenfunktion nicht einmal im Hilbert-Raum liegt und physikalisch keinen Sinn ergibt, können wir damit durchkommen , sie zu verwenden, obwohl sie "falsch" ist. Versuch es! Schreiben Sie zwei nicht überlappende Wellenfunktionen auf und berechnen Sie$\langle \hat{X} \rangle$sowohl in Bezug auf den antisymmetrisierten als auch den nicht antisymmetrisierten Zustand - Sie erhalten so oder so die gleiche Antwort. Streng genommen müssen Sie also immer noch antisymmetrisieren, aber Sie können mit "Schummeln" davonkommen und dies vernachlässigen, wenn die Partikel weit entfernt sind und eine vernachlässigbare räumliche Überlappung aufweisen.

Schließlich fragen Sie sich vielleicht: „Wenn alle bekannten Elementarteilchen entweder Bosonen oder Fermionen sind, warum beschäftigen sich Physiker der kondensierten Materie dann jemals mit diesen seltsamen magnetischen Spin- und Anyon-Systemen?“ Die Antwort ist tatsächlich in den beiden Fällen unterschiedlich. Magnetische Spinsysteme sind eigentlich Elektronensysteme, bei denen die Wellenfunktion jedes Elektrons so schnell abfällt, dass wir sie als "weit entfernt" behandeln können, selbst wenn sie nur durch einen interatomaren Abstand getrennt sind! Wir können also davonkommen, die Antisymmetrisierung zu ignorieren, obwohl sie "wirklich" da ist. Anyons sind noch seltsamer und entsprechen überhaupt keinen einzelnen fundamentalen Teilchen - sie sind "kollektive Anregungen", die nur entstehen, wenn man eine riesige Anzahl von Elektronen nimmt und sie auf ganz besondere Weise miteinander koppelt.

Die Gesamtwellenfunktion eines Elektronenpaares muss immer antisymmetrisch sein. Die allgemeine Wellenfunktion hat also die Form.

$$|\Psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|\sigma_1\phi_1\rangle|\sigma_2\phi_2\rangle - |\sigma_2\phi_2\rangle|\sigma_1\phi_1\rangle\right)$$ Wenn die räumlichen Wellenfunktionen der beiden Elektronen identisch sind, dh die beiden Elektronen sich im gleichen „räumlichen Zustand“ befinden, dann muss die räumliche Wellenfunktion symmetrisch sein und somit muss der Spin-Anteil der Wellenfunktion antisymmetrisch sein, damit die gesamte Wellenfunktion antisymmetrisch ist antisymmetrisch sein. $$|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+-\rangle - |-+\rangle\right)|\phi_1\,\phi_1\rangle$$

Wenn jedoch die räumlichen Wellenfunktionen nicht identisch sind , dann kann der räumliche Teil der Wellenfunktion entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein und somit kann die Spinwellenfunktion dann antisymmetrisch bzw. symmetrisch sein

$$\begin{align} |\Psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|+-\rangle - |-+\rangle\right)\left(|\phi_1\,\phi_2\rangle + |\phi_2\,\phi_1\rangle\right)\\ |\Psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|\sigma_1\sigma_2\rangle + |\sigma_2\sigma_1\rangle\right)\left(|\phi_1\,\phi_2\rangle - |\phi_2\,\phi_1\rangle\right) \end{align}$$ Wo $\sigma_1$Und $\sigma_2$Kann beides sein $+$oder $-$. Die Überlappung der Wellenfunktionen spielt keine Rolle. Übrigens zerfallen die Wellenfunktionen in großen Entfernungen im Allgemeinen exponentiell, sodass die Überlappung nie ganz ist $0$. Der Punkt, an dem Überlappungsintegrale ins Spiel kommen, ist, wenn es eine Wechselwirkung zwischen den Elektronen gibt, sodass eine Energie damit verbunden ist, dass die Elektronen nahe beieinander liegen, die normalerweise höher ist, wenn sich die Elektronen im gleichen Zustand befinden, was zu einem symmetrischen Raum führt Konfiguration Konfiguration wird entweder bevorzugt oder vermieden.