Machen die vier Quantenzahlen nicht zwei Elektronen unterscheidbar?

Nach dem Ausschlussprinzip von Pauli haben keine zwei Elektronen in einem gebundenen System alle die gleichen Quantenzahlen. Das bedeutet, dass ein Elektron durch die vier Quantenzahlen eindeutig spezifiziert und somit von anderen unterschieden werden kann.

Ich verstehe, dass wir immer noch nicht sagen können, „welches Elektron“ diesen Satz von Quantenzahlen hat. So können wir zum Beispiel nicht unterscheiden; Elektron 1 haben { N , M , l , + S } und Elektron 2 haben { N , M , l , − S } von Elektron 1 haben { N , M , l , − S } und Elektron 2 haben { N , M , l , + S } .

Aber warum ist das wichtig? Wir brauchen keine 'Elektronen- 1 ' und 'Elektronen- 2 ' Etiketten . Wir können das Elektron einfach als 'Elektron - { N , M , l , + S } ' usw.

Zu J Murrays Kommentar:

Dies ist aus dem Buch von Tony Genault über statistische Mechanik, und das habe ich in meinem Kommentar gemeint.

In diesem Kapitel behandeln wir die andere Art der Anordnung, bei der die Teilchen unterscheidbar sind. Das physikalische Beispiel ist eher das eines Festkörpers als das eines Gases. Stellen Sie sich einen einfachen Festkörper vor, der aus N identischen Atomen besteht. Es bleibt wahr, dass die Atome selbst nicht zu unterscheiden sind. Eine gute Beschreibung unserer Anordnung ist es jedoch, sich den Festkörper als einen Satz von N Gitterplätzen vorzustellen, in denen jeder Gitterplatz ein Atom enthält. Ein 'Teilchen' der Anordnung wird dann 'das Atom am Gitterplatz 4357 (oder was auch immer)'. (Welches der Atome sich an dieser Stelle befindet, ist nicht spezifiziert.) Das Teilchen wird nicht durch die Identität des Atoms unterschieden, sondern durch die unterschiedliche Position jeder Gitterstelle. Ein Festkörper ist eine Ansammlung lokalisierter Teilchen, und es ist diese Lokalität, die die Teilchen unterscheidbar macht.

Ich interessiere mich speziell für die Zeile:

Das Teilchen unterscheidet sich nicht durch die Identität des Atoms, sondern durch die unterschiedliche Position jedes einzelnen

Ich kann es einfach so umformulieren:

"Das Teilchen unterscheidet sich nicht durch die Identität des Atoms, sondern durch die unterschiedlichen Quantenzahlen jedes einzelnen."

Denn selbst im ersten Fall von fest ist es uns egal, ob es sich beim zweiten Mal um dasselbe Atom in einem bestimmten Gitter handelt, sondern dass es sich um das 'Atom im Gitter 1435 usw.

Was ist die Frage?

Antworten (2)

Nach dem Ausschlussprinzip von Pauli haben also keine zwei Elektronen in einem gebundenen System alle die gleichen Quantenzahlen. Das bedeutet, dass ein Elektron durch die vier Quantenzahlen eindeutig spezifiziert und somit von anderen unterschieden werden kann. Ich verstehe, dass wir immer noch nicht sagen können, „welches Elektron“ diesen Satz von Quantenzahlen hat.

Ihr letzter Satz ist das, was wir meinen, wenn wir sagen, dass zwei Teilchen nicht zu unterscheiden sind. Genauer gesagt werden zwei Teilchen als nicht unterscheidbar bezeichnet, wenn das Vertauschen ihrer Quantenzahlen den Zustand des zusammengesetzten Systems nicht beeinflusst oder wenn das Vertauschen ihrer Quantenzahlen nur eine Gesamtphasenverschiebung der zusammengesetzten Wellenfunktion verursacht. Ψ ↦ e ich θ Ψ für einige θ .

Das Spin-Statistik-Theorem besagt, dass es unter weiten Bedingungen nur zwei Arten von Teilchen gibt - diejenigen, für die θ = 0 , die wir Bosonen nennen, und diejenigen, für die θ = π , die wir Fermionen nennen. Unter bestimmten Bedingungen (z. B. in 2D) gilt das nicht, aber davon lassen wir mal ab.

Der Punkt ist, dass Ununterscheidbarkeit nicht bedeutet, dass jedes Teilchen in einem System die gleichen Eigenschaften hat, sondern dass der Zustand des zusammengesetzten Systems nicht beeinflusst wird, wenn zwei beliebige Teilchen ausgetauscht werden. Im speziellen Fall von Fermionen bedeutet dies das Ψ ↦ − Ψ wenn zwei Fermionen ausgetauscht werden; wenn sie im selben Staat leben würden, hätten wir das auch Ψ ↦ Ψ (da sich nichts geändert hat), was das impliziert Ψ = 0 . Daraus folgt, dass ein System ununterscheidbarer Fermionen keine zwei Teilchen im gleichen Zustand haben kann – also das Pauli-Ausschlussprinzip.

Was ist mit lokalisierten Atomen in einem Kristallgitter? Wir betrachten sie als unterscheidbar durch ihre "Lokalität", aber der Austausch zweier beliebiger Atome würde für das System keinerlei Unterschied machen (unter der Annahme eines Gitters derselben Art von Atomen). Was ist denn hier los?
@Lost Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, was du meinst. Sprechen Sie über die Kerne in einem Gitter? Wenn ja, dann sind sie nicht unterscheidbar, aber da ihre Gleichgewichtstrennung weit größer ist als das Ausmaß ihrer einzelnen Wellenfunktionen (insofern sie einzelne Wellenfunktionen haben), hat ihre Ununterscheidbarkeit eigentlich keinen merklichen Einfluss auf das System.
Ich habe meine Frage bearbeitet. Hoffe meine Frage im Kommentar ist jetzt klarer. Bitte lies es dir durch
@ Recht verloren. Die Tatsache, dass die Teilchen lokalisiert sind – was ungefähr bedeutet, dass ihre Wellenfunktionen keine Überlappung haben – bedeutet, dass die Teilchen zwar im Prinzip nicht unterscheidbar sind, aber in der Praxis keinen Unterschied machen. Die Tatsache, dass die Zustände unter Teilchenaustausch symmetrisch oder antisymmetrisch sein müssen, hat nur merkliche Konsequenzen, wenn sie nahe genug beieinander liegen, damit sich ihre Wellenfunktionen überlappen.
Haben Sie diesen Teil meiner Frage gelesen? ----- Ich kann es einfach so umformulieren: "Das Teilchen unterscheidet sich nicht durch die Identität des Atoms, sondern durch die unterschiedlichen Quantenzahlen jedes einzelnen."
@Lost Ja, aber da das keine Frage ist, verstehe ich nicht, was Sie gerade zu fragen versuchen.
Was ich zu fragen versuche, ist, was an meiner umformulierten Aussage falsch ist? Nach dem Argument, das in dem Buch gegeben wird, warum die Menge der Quantenzahlen, so wie 'Lokalität' Teilchen unterscheidet, nicht kann? Da, wie Sie erwähnt hatten, Ununterscheidbarkeit bedeutet, dass das Austauschen keinen Unterschied verursacht, würde das Austauschen selbst in dem vom Autor angegebenen Fall keine Rolle spielen, aber er hält sie dennoch für unterscheidbar, während dies nicht berücksichtigt werden kann, wenn Sie Elektronen mit gleichen Quantenzahlen austauschen ?
@Lost Die Formulierung ist nicht ideal, aber der Autor hält sie nicht für unterscheidbar: "Es bleibt wahr, dass die Atome selbst nicht unterscheidbar sind." Die Zustände, in denen die Atome leben, können offensichtlich voneinander unterschieden werden, aber Sie verwirren sich selbst, wenn Sie die Ununterscheidbarkeit von Teilchen - die eine technische Bedeutung in Bezug auf die Austauschsymmetrie hat, wie ich in meinem ersten Absatz geschrieben habe - und die Unterscheidbarkeit von verwechseln Staaten, in denen diese Teilchen leben.
Ich hab es verstanden. Und diese Ununterscheidbarkeit ist im Wesentlichen auf die Quantenmechanik zurückzuführen (insbesondere dadurch, dass die Flugbahn / das Tag aufgrund des Unsicherheitsprinzips nicht verfolgt werden kann), richtig?
@Verlorene Ununterscheidbarkeit ist ein rein quantenmechanischer Effekt, insofern es klassisch nicht einmal sinnvoll ist, über den Zustand eines Systems zu sprechen, das unter Teilchenaustausch symmetrisch oder antisymmetrisch ist. Ich denke nicht, dass es unbedingt hilfreich ist, dies als Ergebnis der Unschärferelation zu betrachten, da letztere sicherlich nicht die Existenz einer Austauschsymmetrie impliziert.

Die Unterscheidbarkeit erfordert nicht nur die Zuordnung von Teilchen zu unterschiedlichen Sätzen von Quantenzahlen, sondern auch die Verfolgung dieser Teilchen. In der klassischen Physik können wir die Bahnen der beiden Teilchen verfolgen und wissen, welche aus welcher Ausgangsposition kamen. Die beiden Elektronen im OP könnten jedoch ihre Plätze tauschen, und wir würden dies nie erfahren.

Beachten Sie jedoch, dass die Argumentation im OP einen schwerwiegenderen Fehler aufweist: Es geht von der Gültigkeit des Pauli-Prinzips aus, das sich aus der Ununterscheidbarkeit der Elektronen ergibt, um genau diese Ununterscheidbarkeit in Frage zu stellen. Mit anderen Worten, es handelt sich um einen Zirkelschluss .

Wenn ich mich nicht irre, ist das Pauli-Ausschlussprinzip historisch älter als seine Ununterscheidbarkeitsableitung, dh Pauli postulierte einen Spin, um bestimmte experimentelle Ergebnisse zu erklären, was implizieren soll, dass das Prinzip (wahrscheinlich) als unabhängiges Postulat angesehen werden kann. Außerdem sind Bosonen nicht unterscheidbar, aber sie folgen nicht dem Pauli-Ausschlussprinzip. Was ist denn hier los?
@Lost Historisch gesehen ist dies wahrscheinlich der Fall, aber logischerweise folgt das Pauli-Prinzip daraus, dass Partikel identisch sind, aber nicht unbedingt umgekehrt. Wenn Sie dieser Aspekt interessiert, könnten Sie die Frage vielleicht dahingehend umformulieren.
Okay, aber Ihre Aussage "Das Pauli-Prinzip folgt aus identischen Teilchen" gilt nicht für Bosonen. Sie sind identisch, aber nur weil sie identisch sind, müssen sie Pauli nicht folgen.
@Lost Das Lehrbuchargument ist, dass die Ununterscheidbarkeit von Partikeln bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte | ψ ( X 1 , X 2 ) | 2 soll sich unter Zulassung der Koordinaten (Quantenzahlen) nicht ändern, was bedeutet, dass sich die Wellenfunktion nur um einen Phasenfaktor ändern kann. Die Phasenfaktoren ± 1 entsprechen dann Bosonen und Fermionen, und im Falle von − 1 folgt das Pauli-Prinzip, da ψ ( X 1 , X 2 ) = − ψ ( X 2 , X 1 ) , dh, ψ ( X 1 , X 1 ) = − ψ ( X 1 , X 1 ) = 0
Oh, in Ordnung. Vermutlich verstehe ich es jetzt. Mit anderen Worten sagen Sie also im Grunde, dass die Ununterscheidbarkeit nicht immer eine ausreichende Bedingung für Pauli ist, aber dennoch eine der notwendigen . Ein Partikel, das Pauli folgt, muss also nicht unterscheidbar sein, da dies eine notwendige Einschränkung ist.
@Lost ja, so kann man es gut ausdrücken.
Machen die vier Quantenzahlen nicht zwei Elektronen unterscheidbar?
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