Verstoß gegen das Pauli-Ausschlussprinzip, warum wird Energie quantisiert?

Das Pauli-Ausschlussprinzip (PEP) spricht davon, dass zwei Fermionen nicht denselben Zustand einnehmen . Für ein an ein Atom gebundenes Elektron kann ein solcher Zustand vollständig durch seine Position charakterisiert werden – normalerweise in Kugelkoordinaten$(r,\theta,\phi)$--, Energielevel$n$und Drehimpuls$(l,m)$. Dies beantwortet bereits Ihre erste Frage: Obwohl sich die 1s- und 2s-Elektronen möglicherweise am selben Ort befinden , befinden sie sich nicht auf demselben Energieniveau, daher verletzt dies nicht den PEP.

In Bezug auf die Quantisierung von Energie gibt es viele Möglichkeiten, darauf zu antworten. Die „richtigste“ Erklärung ist, dass die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für das System Elektron-umlaufender Kern eine beschränkte Gleichung ist, also diskrete Eigenwerte hat. Das heißt, wenn Sie lösen$H\psi=E\psi$, das findest du$E$kann nur bestimmte Werte haben, die mit einer Ganzzahl indiziert werden können$n$.

Was den Grund dafür betrifft, fürchte ich, dass keine Intuition Ihren Durst stillen wird, diesen sehr entscheidenden Punkt zu verstehen, Sie müssen die Mathematik dahinter lernen, um zu verstehen, was vor sich geht.

Da das Volumen von 2s größer als 1s ist, bedeutet dies, dass Elektronen im 2s-Orbital mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit an einem Ort sind, an dem sich das 1s-Orbital befindet.

Da keine dieser Verteilungen beschränkt ist, beträgt diese Wahrscheinlichkeit 100 %. Wenn Sie ein Elektron in einem 2s-Orbital messen, befindet es sich mit 100%iger Wahrscheinlichkeit an einer Stelle, an der Sie auch ein Elektron in einem 1s-Orbital messen könnten, wenn Sie dort eine Positionsmessung durchgeführt hätten.

Dann wäre das Pauli-Ausschlussprinzip verletzt, da nur 2 Elektronen das 1s-Orbital besetzen können, so dass dies nicht passieren könnte, wenn das Pauli-Ausschlussprinzip gilt. Doch wie kann man sich das erklären?

Ich denke, Sie könnten denken, dass dies klassische Umlaufbahnen mit einem festen Radius sind? Sie sind nicht. Daher würde die Beobachtung eines Elektrons an einem bestimmten Punkt, der vom 1s-Orbital abgedeckt wird, es nicht in den 1s-Zustand versetzen, wenn Sie meinen Drift verstehen.

Interessanter in der Quantenmechanik ist, wenn ein Übergang zwischen zwei nicht orthogonalen Zuständen existiert. Und die Mathematik, um das zu bestimmen, ist dem, worüber Sie sprechen, sehr ähnlich. Wir nehmen jeden Punkt im Raum, an dem das Elektron gemessen werden könnte, und die Wellenfunktion ordnet diesem Punkt eine komplexe Zahl zu, die wir Übergangsamplitude nennen, wobei das Volumenintegral der quadrierten Größe der komplexen Zahl eine Wahrscheinlichkeit angibt, gefunden zu werden in dieser Lautstärke, während die Phase der komplexen Zahl dafür sorgt, dass immer noch wellenförmige Interferenzeffekte auftreten.

Regel eins für Amplituden ist, dass die Amplitude für einen parallelen Prozess, A kann entweder über Z1 oder Z2 zu B gehen, die Summe der Amplituden für jeden der einzelnen Prozesse ist. Regel zwei für Amplituden ist, dass die Amplitude für einen sequentiellen Prozess, A kann zu B gehen, indem es zuerst zu Z1 und dann von dort zu B geht, eine komplexe Multiplikation ist: Sie nehmen diese beiden komplexen Zahlen und multiplizieren ihre Beträge und addieren ihre Winkel.

Sie sehen vielleicht schon die Pointe, die hier erscheint, aber lassen Sie es mich ausdrücklich sagen. Wenn Sie dies versuchen, erhalten Sie ein Volumenintegral über den gesamten Raum der Amplitude, damit das 2s-Elektron zu einem bestimmten Punkt (x,y,z) geht, mal der Amplitude, die von diesem Punkt in 1s geht. Sie machen dieses Integral und Sie finden perfekte destruktive Interferenz. Die resultierende Amplitude ist Null. Es ist kein Übergang möglich.

Und tatsächlich kann man beweisen, dass es aus einem anderen Grund Null sein muss: weil dies beides Eigenvektoren mit unterschiedlichen Eigenwerten für einen Operator sind, der zufällig der Hamilton-Operator ist. Es muss nicht der Hamilton-Operator sein, damit dieses Ergebnis gilt, aber es gibt eine zusätzliche Stärke für die Aussage, wenn es der Hamilton-Operator ist: Eigenzustände des Hamilton-Operators entwickeln sich nicht auf messbare Weise im Laufe der Zeit. Es hört also auf, nur "es gibt keinen sofortigen Weg dafür" zu sein, und es wird verstärkt zu "selbst wenn Sie es für eine bestimmte Zeit sitzen lassen, passiert das nicht".

Die Quantenmechanik hat noch ein paar andere Tricks, die es wert sind, erwähnt zu werden, einer davon ist, dass Elektronen nicht unterscheidbare Teilchen sind, also gäbe es eigentlich keine Möglichkeit herauszufinden, ob ein Elektron im 1s-Zustand aus dem 2s-Zustand dorthin gelangt ist oder nicht . Vielleicht entdecken Sie also eineElektron im 1s-Zustand, Sie können mir nicht mit Sicherheit sagen, ob Sie sicher sind, dass es dasjenige war, das früher im 2s-Zustand war. Vielleicht war es, vielleicht war es nicht. Ein weiterer kniffliger Aspekt wie dieser ist, dass, wenn Sie eine dieser Elektronenpositionen sehr fest fixieren wollen, dies erfordert, dass eine große Menge Licht auf das Atom geschossen wird, und dieses Licht wird ausreichen, um diese zu treten Elektronen aus ihrer Umlaufbahn, also wird es eigentlich sehr normal sein, eines von ihnen nicht dort zu finden, wo es sein sollte, wenn man bedenkt, was Sie zu tun versuchen, um zu messen, wo sich dieses Elektron befindet.

"Warum ist Energie quantisiert und nicht kontinuierlich?"

Darauf hat der große Feynman sehr didaktisch geantwortet: https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA

Um seine Rede anders zu formulieren: Die Frage nach dem "Warum" als Laie hat in der Physik normalerweise keine nützliche Antwort, zumindest nicht, wenn eine sehr allgemeine Frage gestellt wird, die irgendwie "aus dem Zusammenhang gerissen" wird, wie diese hier.

Um Feynman zu zitieren:

Wenn Sie nun ein „Warum“ erklären, müssen Sie sich in einem Rahmen befinden, in dem Sie zulassen, dass etwas wahr ist. (sieh)

Das bedeutet, dass Sie sich bei einem mathematischen Beweis bei jedem Schritt fragen können, „warum“ dieser Schritt funktioniert. Für eine Antwort können Sie dann den vorherigen Schritt überprüfen und sich davon überzeugen, dass alles bis zu diesem Schritt korrekt ist. Überprüfen Sie auch, ob der Mechanismus, der der aktuelle Schritt ist, auch als Axiom bewiesen oder postuliert wurde. und dann kann man getrost sagen "deshalb ist es so". Das gilt aber nur für Aussagen in diesem mathematisch-abstrakten Rahmen, es sagt nichts über die Realität aus.

Der gleiche Ansatz ist bei Fragen zum Universum nicht möglich. Um eine einfachere, alltägliche Frage zu nehmen:

"Warum fällt ein Stein herunter, wenn ich ihn loslasse, während ich auf der Erde stehe?"

Die Antwort ist offensichtlich "weil die Schwerkraft Körper dazu bringt, sich aufeinander zu zu bewegen".

Leider lautet meine nächste Frage: "OK, aber warum bewegt die Schwerkraft Körper aufeinander zu?"

Antwort: "Weil Masse die Raumzeit krümmt und Dinge sich auf Bahnen in der Raumzeit bewegen."

Meine nächste Frage wird sein: "Warum krümmt Masse die Raumzeit?"

Und an diesem Punkt bist du draußen. Nein kann Verteidigung . Vielleicht sind Sie ein echter Physiker und können darauf eine zusätzliche Antwort finden, aber ich garantiere Ihnen, dass mir als Laie immer eine andere, grundlegendere "Warum" -Frage einfallen wird, die schließlich (und normalerweise sehr schnell) führt Sie dorthin, wo es einfach keine Antwort mehr gibt. Verdammt, Kinder machen das schon in jungen Jahren als Lieblingssport.

Das Problem ist nicht, dass es uns irgendwie schwer fällt, Antworten zu finden (was natürlich auch stimmt), sondern dass das Universum letztendlich keine Antworten auf „Warum“-Fragen enthält, wenn man tief genug bohrt. Die Axiome sind für uns nicht sichtbar.

Während also das „Warum“ der große Antrieb für viele wissenschaftliche Bemühungen ist, kann es als Frage, die eigentlich nach einer konkreten Antwort sucht, sehr frustrierend sein.

Abschließend: Die Mathematik und unsere Theorien sind definitiv nicht die richtige Antwort (außer wenn wir die Frage im Kontext der Theorie umformulieren; die dann mit der objektiven Realität wenig mehr zu tun hat). Das Universum kümmert sich nicht um unsere Formeln.

Um mit Feynman abzuschließen:

Ich werde Ihnen keine Antwort darauf geben können, warum [...], außer dass ich Ihnen versichere, dass sie es tun , und Ihnen sagen, dass dies eines der Elemente der Welt ist [...] aber ich wirklich kann keine gute Arbeit - keine Arbeit - leisten, um etwas zu erklären, mit dem Sie vertraut sind, weil ich es nicht in Bezug auf etwas anderes verstehe, mit dem Sie vertrauter sind. [großes Lächeln]

"Warum ist es wahrscheinlich, dass sich ein Elektron im 2s-Orbital im 1s-Orbital befindet?"

Pauli-Ausschluss besagt, dass nur ein Fermion ein Orbital besetzen kann. Aufgrund des Spins bedeutet dies, dass zwei Elektronen ein einziges räumliches Orbital besetzen können. In Ihrem Beispiel von Helium ist dies tatsächlich der Fall. Sie haben jedoch Recht, dass mit einer Wahrscheinlichkeit zwei oder mehr Elektronen am selben Ort zu finden sind. Beachten Sie, dass, obwohl dies eine unendliche Abstoßung ergibt, das Volumen, in dem dies auftritt, verschwindet, sodass dies immer noch einen endlichen Beitrag zur Abstoßungsenergie liefert. Beachten Sie, dass Elektronen nicht nur eine Pauli-Korrelation, sondern auch eine Coulomb-Korrelation haben, wodurch sich Elektronen etwas besser als die Konfiguration vermeiden können$1s^2 2s$schlägt vor. Der$1s^2 2s$Konfiguration ist die Hartree-Fock-Slater, einzelne Determinante, Annäherung. Eine genauere Wellenfunktion wird Beimischungen von Determinanten wie haben$1s 2s^2$usw.