Können zwei Fermionen im unendlichen Potential gut das gleiche Energieniveau einnehmen?

Angenommen, es gibt zwei Elektronen in einem unendlichen Potentialtopf, was wäre der Grundzustand für dieses System?

Ich weiß, dass zwei Bosonen das niedrigste Energieniveau (n = 1) besetzen können, weil sie nicht dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorchen müssen, aber können Fermionen auch, wenn sie unterschiedlichen Spin haben?

Ich glaube, der Grundzustand für zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin sollte so sein, dass sich beide Elektronen auf dem niedrigsten Energieniveau befinden (n = 1). Ich bin mir jedoch nicht sicher, denn wenn sich beide Teilchen auf demselben Energieniveau befinden, ist die Wellenfunktion im Grundzustand nicht antisymmetrisch.

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Die Gesamtwellenfunktion muss unter Teilchenaustausch antisymmetrisch sein. Da sich jedes Elektron im gleichen 1-Teilchen-Grundzustand befindet, E 0 ( X ) , wird die räumliche Wellenfunktion unter Vertauschung symmetrisch sein; daher muss die Spinwellenfunktion antisymmetrisch sein.

Die 2-Teilchen-Wellenfunktion lautet:

E 0 , 0 ( X 1 , X 2 ) = E 0 ( X 1 ) E 0 ( X 2 ) = E 0 ( X 2 ) E 0 ( X 1 ) = E 0 ( X 2 , X 1 ) .

Die Regeln zur Addition des Drehimpulses sind gut dokumentiert. Der antisymmetrische Grundzustand wird haben S = 0 , und natürlich S z = 0 :

Ξ 1 , 2 = 1 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↓ 1 ↑ 2 ) ,

wobei die Indizes den Partikelindex bezeichnen (und die Pfeile die z-Komponente angeben). Beachten Sie, dass:

Ξ 2 , 1 = 1 2 ( ↑ 2 ↓ 1 − ↓ 2 ↑ 1 ) = − 1 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↓ 1 ↑ 2 ) = − Ξ 1 , 2

so dass der Spinzustand tatsächlich antisymmetrisch ist.

Die Gesamtwellenfunktion ist ihr Produkt:

ψ 1 , 2 = E 0 ( X 1 ) E 0 ( X 2 ) Ξ 1 , 2 .

Beachten Sie, dass die Aussage "die Elektronen haben unterschiedlichen Spin" irreführend ist (ich würde sogar "klassisch" sagen): Sie haben den gleichen Spin: J = ℏ J ( J + 1 ) = 3 / 2 ℏ . Sie haben sogar die gleiche Projektion auf die z − Achse: ± ℏ / 2 --es ist nur so, dass ihre Kombination unter Austausch antisymmetrisch ist.

Schließlich: Nirgendwo musste ich auf die quantitative Lösung des quadratischen Brunnens verweisen.

@MomoTheSir Herzlich willkommen. Lesen Sie es noch einmal, da ich einige schwerwiegende Tippfehler korrigiert habe, die dazu geführt haben, dass die Mathematik nicht mit dem Text übereinstimmt.
@MomoTheSir Ich würde hinzufügen, dass dieser Zustand, in dem zwei Fermionen ihre Spins in einer antisymmetrischen Konfiguration und ihre räumlichen Wellenfunktionen identisch haben, eigentlich eine sehr gute Beschreibung der beiden Elektronen in einem Paraheliumatom ist. Im wirklichen Leben hat die Parahelium-Elektronenkonfiguration aufgrund der Coulomb-Abstoßung zwischen den Elektronen eine etwas höhere Energie als die Grundzustände (als "Orthohelium" bezeichnet).
@MomoTheSir OK, dann machen wir 2 rechtshändige Neutrinos in einer Box.
Bedeutet dies, dass die Energie des Systems ist 2 E 0 ? Es scheint sicher so, aber ich möchte sicher sein.
H ψ 1 , 2 = ( H 1 + H 2 ) E 0 ( X 1 ) E 0 ( X 2 ) Ξ = H 1 E 0 ( X 1 ) E 0 ( X 2 ) Ξ + H 2 E 0 ( X 1 ) E 0 ( X 2 ) Ξ = E 0 E 0 ( X 1 ) E 0 ( X 2 ) Ξ + E 0 E 0 ( X 1 ) E 0 ( X 2 ) Ξ = 2 E 0 ψ 1 , 2
Können zwei Fermionen im unendlichen Potential gut das gleiche Energieniveau einnehmen?
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