Bosonisierung und Kommutierungsbeziehung

Ich habe kürzlich eine Diskussion über dieses Problem.

Nehmen wir an, Sie haben bereits den Erwartungswert des zeitgleichen Antikommutators

$$\begin{equation} \langle \{ \psi( x ) , \psi^{\dagger}( x' ) \} \rangle = \langle :e^{i \phi(x) }:, :e^{ -i \phi(x' )} :\rangle = i \delta( x - x' ) \end{equation}$$ Dies kann beispielsweise durch analytische Fortführung des Euklidischen Bosonenkorrelators festgestellt werden $\ln | z_1 - z_2|$mit $t = i \epsilon$Trick oder Operatorformalismus.

Für einen einzelnen Oszillator haben wir

$$\begin{equation} :e^A: :e^B: = :e^{A+B}: e^{\langle A B \rangle } \end{equation}$$ verallgemeinert dies auf den Scheitelpunktoperator $$\begin{equation} \begin{aligned} \{:e^{i \phi(x) }:, :e^{ -i \phi(x' )} :\} &= (e^{\langle \phi(x) \phi(x') \rangle } + e^{\langle \phi(x') \phi(x) \rangle }):e^{i (\phi(x) - \phi( x' )) }: \\ &= \langle :e^{i \phi(x) }:, :e^{ -i \phi(x' )} :\rangle : e^{i (\phi(x) - \phi( x' )) }:\\ &= i \delta( x - x' ) e^{i (\phi(x) - \phi( x' )) }\\ &= i \delta( x - x' ) \end{aligned} \end{equation}$$ Die letzte Zeile ist eine unerwartete Möglichkeit, einen Operator auf eine c-Zahl zu reduzieren.