Kompaktes oder nicht kompaktes Boson aus der Bosonisierung?

In einigen Diskussionen über die Bosonisierung wird betont, dass die Dualität zwischen freien Bosonen und freien Fermionen die Verwendung eines kompakten Bosons erfordert. Beispielsweise wird in einem Übersichtsartikel von Senechal die folgende Aussage gemacht:

Damit die Bosonisierung streng definiert werden kann, muss das Feld ϕ muss einen kantigen Charakter haben. Mit anderen Worten, der Zielraum des Feldes muss ein Radiuskreis sein R (vorerst allgemein zu halten), so dass ϕ Und ϕ + 2 π R sind identifiziert. Wir sagen, dass das Boson auf einem Kreis kompaktiert ist.

In anderen Quellen jedoch keine Erwähnung der Kompaktheit ϕ gemacht wird. Beispielsweise wird in dem Übersichtsartikel von von-Delft und Schoeller das Wort „kompakt“ nicht erwähnt. Darüber hinaus scheinen Bücher wie Fradkins und Shankars jeweilige Bücher über die Feldtheorie der kondensierten Materie dieses Thema nach meinem besten Wissen nicht zu erwähnen.

Soweit ich weiß, unterscheiden sich die Theorien kompakter und nicht kompakter Bosonen nicht trivial. Auf den ersten Blick scheinen beide Theorien die gleiche Wirkung zu haben:

S [ ϕ ] = K 2 ∫ D 2 X ( ∂ μ ϕ ) 2 .
Ein masseloses, nicht kompaktes Boson ist jedoch eine triviale freie Theorie und der Koeffizient K kann jederzeit neu skaliert werden, indem unsere Normalisierung von geändert wird ϕ . Andererseits ändert die Neuskalierung eines kompakten Bosons die Theorie auf nicht triviale Weise, und die Theorie kann den berühmten KT-Übergang bei einem kritischen Wert von durchlaufen K .

Andere rein umständliche Beweise dafür, dass das durch Bosonisierung von Fermionen erhaltene Boson kompakt ist, sind:

  • In der zentralen Bosonisierungsformel ψ ∼ e − ich ϕ , ϕ erscheint in einem Exponential. Infolgedessen scheinen alle Observablen, die man auf der bosonisierten Seite der Theorie betrachtet, die Periodizität von zu respektieren ϕ . Dies ist auch aus der Form der bosonisierten Aktion ersichtlich: Es ist leicht, Begriffe in der Fermion-Theorie zu finden, die sich in Objekte wie übersetzen lassen cos ⁡ ϕ in der Wirkung der bosonisierten Theorie, aber man kann niemals einen Massenterm wie erzeugen M ϕ 2 meines Wissens nach.

  • In Büchern über die Luttinger Flüssigkeit wird der Parameter K oben soll mit dem Verdichtungsradius des Bosons zusammenhängen. In Fradkins Buch zum Beispiel K wird als Verdichtungsradius bezeichnet, dann aber die Verdichtung von ϕ wird danach nie mehr verwendet.

  • Es gibt eine Selbst-Dualität, die handelt ϕ für sein duales Feld θ , und entsprechend K Zu 1 / K . Soweit ich weiß, hängt dies wiederum damit zusammen, dass ϕ ist kompakt; Wenn ϕ nicht kompakt waren, konnten wir neu skalieren K zu was auch immer wir wollen, ohne die Physik zu ändern. Es ist nur wann ϕ kompakt ist, dass diese Dualität nichttrivial wird.

Das Obige sind jedoch alles nur Indizienbeweise und erklären nicht, warum ein kompaktifiziertes Boson notwendig ist. Außerdem scheinen Bücher wie das von Fradkin und Übersichtsartikel wie von-Delft, die ziemlich viel Arbeit in den Beweis der Bosonisierungsformeln gesteckt haben, nie in Schwierigkeiten zu geraten, wenn sie kein kompaktes Boson verwenden.

Zusammenfassend stellt sich hier die Frage: Ist bei der abelschen Bosonisierung, bei der ein Dirac-Fermion einem masselosen Boson entspricht, das Boson kompakt oder nicht kompakt? Gibt es jemals die Freiheit, das eine oder andere zu verwenden, oder muss es kompakt (oder nicht kompakt) sein? Und vor allem, wie kann ich sehen, warum das Boson kompakt ist oder nicht?

Ich habe Shankar oder Fradkin nicht sofort zur Hand, aber von-Delft und Shoeller diskutieren sicherlich die Bedeutung des Systems mit endlicher Länge L beim Einrichten der Bosonisierung, was darauf hinausläuft, dass das System kompakt ist, auch wenn sie dieses Wort nicht verwenden. Sie fahren dann fort, die Grenze zu betrachten L → ∞ , aber das ist im Prinzip klar L sollte immer endlich sein, auch wenn es groß wird. Ich wäre überrascht, wenn die anderen Quellen nicht etwas Ähnliches tun würden
@BySymmetry Die Frage betrifft die Kompaktheit des Werteraums von ϕ ( X ) , nicht über die Kompaktheit des Werteraums von X .

Antworten (2)

Es ist kompakt.

Der einfachste Ansatz besteht darin, Symmetrien zu betrachten. Die offensichtlichste Symmetrie hat Algebra u 1 , gegeben durch Rephasierung des Fermions oder Verschiebung des Bosons. Was ist die globale Form dieser Symmetrie? (dh was ist die Gruppe für diese Algebra?)

Es ist klar, dass das Fermion eine Gruppe hat U ( 1 ) , da das Gruppenelement eine Phase ist.

Für das Boson ist die Gruppe R für den nicht kompakten Fall und U ( 1 ) für das kompakte Gehäuse. Der Grund liegt auf der Hand: die Menge der Transformationen ϕ ↦ ϕ + a hat die Struktur von R Wenn a ist willkürlich, fällt aber unter U ( 1 ) Wenn a ≅ a + 2 π .

Wenn also diese Symmetrien identisch sein sollen (was eine notwendige Bedingung für Dualität ist), muss das Boson kompakt sein.

(Sie können sich auch davon überzeugen, dass diese Theorien CFTs sind und ihre chirale Algebra genau die affine Erweiterung von ist u 1 ; beide sind bezüglich dieser Algebra rational und tatsächlich holomorph. Für die Fermionen ist dies offensichtlich, aber für die Bosonen gilt dies nur bei R = 1 (in gewisser Normalisierung).)

Das ist überzeugend, wirft aber weitere Fragen auf. Erstens haben die Dirac-Fermionen eine zusätzliche U ( 1 ) chirale Symmetrie, die auf der Bosonenseite nicht vorhanden zu sein scheint. Liegt das daran, dass die chirale Anomalie ohnehin die Symmetrie in der Dirac-Theorie bricht? Zweitens, wenn Menschen versuchen, die Dualität zu beweisen, berechnen sie normalerweise Korrelationsfunktionen auf der Bose- und der Fermi-Seite und zeigen, dass sie gleich sind. Warum reicht es aus, Korrelationsfunktionen von nicht kompakten Bosonen zu berechnen? Allerdings ist mir nicht klar, dass man Korrelationsfunktionen des kompakten Bosons ohnehin einfach berechnen kann.
@Zack Es gibt keine chirale Anomalie, das Fermion ist frei. Das Boson hat zwei u 1 ist auch. In der alten Stringtheorie-Literatur sind diese als Impuls- und Wicklungssymmetrien bekannt, und tatsächlich (in einem gegebenen T-Dualitätsrahmen) ist nur eine davon offensichtlich. Wie auch immer, beim Überprüfen der Dualität müssen Sie Korrelatoren des kompakten Bosons berechnen, nicht die des nicht kompakten. Am besten überprüfen Sie ST-Bücher, die Korrelatoren kompakter Bosonen sind im Wesentlichen das, was sie "Vertex-Operatoren" nennen e ich ϕ (die offensichtlich die respektiert 2 π Identifikation).
Danke, noch eine Frage: In der Literatur zu kondensierter Materie, mit der ich vertraut bin, scheint es äußerst üblich zu sein, sie zu behandeln ϕ als wäre es ein gewöhnliches nicht kompaktes Feld mit Gaußscher Wirkung. Zum Beispiel wird allgemein gesagt, dass die Luttinger-Flüssigkeit ohne Umklapp-Streuung auf eine Theorie der freien Bosonen abgebildet wird. Mit Umklapp erhält man stattdessen eine Sine-Gordon-Theorie und führt dann eine RG-Behandlung durch ϕ als Gauß, um das Phasendiagramm zu erhalten. Wie soll ich also verstehen, wann es in Ordnung ist und wann es gefährlich ist, die Kompaktheit von zu vernachlässigen? ϕ ?
@Zack Ich bin mit der Cond-Mat-Literatur nicht so vertraut, daher kann ich nicht wirklich beurteilen, ob sie nur nachlässig sind oder nicht. Aber als Faustregel würde ich sagen: Sie sollten die Kompaktheit niemals vernachlässigen, es sei denn, Sie tun vielleicht nur etwas Einfaches wie das Betrachten einer lokalen Observablen in der Störungstheorie. (Solche Observables sind ohnehin unempfindlich gegenüber globalen Themen).
Vielleicht kann ich eine spezifische Frage stellen, anstatt vage auf die Cond-Mat-Literatur anzuspielen: Wenn ich die Bosonisierung verwende, um das massive Thirring-Modell auf das Sine-Gordon-Modell abzubilden, wäre ich versucht zu schließen, dass das MT-Modell einen KT-Übergang bei durchläuft bestimmte Parameter. Aber soweit ich verstehe, geht die übliche RG-Analyse des SG-Modells, die zum KT-Übergang führt, davon aus ϕ ist nicht kompakt. Bin ich also falsch in der Schlussfolgerung, dass das MT-Modell einen KT-Übergang hat?

Im Zweifelsfall können Sie auf die Torus-Teilungsfunktion zurückgreifen. Für das freie Dirac-Fermion ist es das

Z = 1 2 ( | ϑ 2 ( τ ) η ( τ ) | 2 + | ϑ 3 ( τ ) η ( τ ) | 2 + | ϑ 4 ( τ ) η ( τ ) | 2 ) .
Dies stimmt mit der Partitionsfunktion des freien Bosons at überein 2 mal den Selbst-Dual-Radius . Einige Techniken zum Auswerten verwandter Partitionsfunktionen (zusammen mit diesem speziellen Beispiel) werden in Kapitel 8 von Ginsparg gegeben .

Dies kann als Ausgangspunkt verwendet werden, um die fermionische Beschreibung kompakter freier Bosonen auf anderen Radien zu finden. Der Punkt ist, dass der Radius durch Hinzufügen der Strom-Strom-Verformung abgestimmt werden kann ∂ ϕ ∂ ¯ ϕ . Nach Anwendung der Dualität wird dies zu einer Vier-Fermi-Wechselwirkung, die das masselose Thirring-Modell definiert. Sie können dann ein weiteres Theoriepaar finden, das durch abelsche Bosonisierung verwandt ist, wenn Sie eine Fermionenmasse hinzufügen. Da dies die konforme Symmetrie bricht, führt dies zu einer nicht trivialen S-Matrix. Diese massive S-Matrix des Thirring-Modells ist die gleiche wie die für das Sinus-Gordon-Modell, wie von Coleman gezeigt .

Vielen Dank für Ihre Kommentare - ich lerne immer noch CFT, daher verstehe ich die Bedeutung der Partitionsfunktion, die Sie geschrieben haben, noch nicht. Aber Ihr letzter Punkt wirft eine weitere Verwirrung von mir auf: Obwohl die Sine-Gordon-Aktion die Periodizität von zu respektieren scheint ϕ , war mein Verständnis, dass die SG-Theorie eine Theorie eines nicht kompakten Bosons war – siehe z. B. die Modenerweiterung in Colemans Gl. 2.1. Dies ist auch wichtig in der traditionellen Diskussion des KT-Übergangs in der SG-Theorie, wo die Skalierungsdimension von cos ⁡ ϕ wird unter Verwendung der Gaußschen Aktion ausgewertet.
Sollte ich also SG als eine Theorie eines kompakten oder nicht kompakten Bosons betrachten, und ändert sich die RG-Analyse zwischen den beiden Fällen?
Ich habe Colemans Schritte eine Weile nicht gelesen, aber ich dachte, SG beschreibe ein kompaktes Boson. In cos ⁡ ( β ϕ ) , du kannst wechseln ϕ von 2 π β was bedeutet, dass der Radius sein sollte 1 β . Wenn dies zutrifft, stimmt (1.9) mit dem überein, was der Strom-Strom-Term tun soll. Sie erhalten einen unendlichen Radius an G = ∞ aber einen endlichen Radius an G = 0 .
Außerdem sind kompakte und nicht-kompakte freie Bosonen beide Gaußsche, wenn man sich nur die Aktion ansieht. Der Radius ist wichtig, um zu bestimmen, welche lokalen Operatoren in der Theorie zulässig sind. Aber wenn dir jemand einfach einen Operator aushändigt ϕ , können Sie dessen Skalierungsmaß ablesen, ohne den Radius zu kennen.
Vielleicht ist es nur terminologisch, aber mit "Gauß" meine ich, dass das Pfadintegral und die Korrelationsfunktionen durch ein einfaches Gaußsches Integral ausgewertet werden können. Dies ist beim kompakten Boson nicht der Fall, wo ein Gaußsches Integral auf eine Vernachlässigung der Kompaktheit von hinausläuft ϕ und "verfehlt" Wirbel. Vielleicht liegt die Verwirrung daran, dass Colemans Artikel nur den Nullladungssektor des Thirring-Modells behandelt, was bedeutet, dass das Boson nicht gewunden wird. Aber ich bin nicht ganz sicher, ich würde denken, dass es auch ohne Wicklung noch Wirbel geben könnte, solange die Gesamtladung Null ist.
Kompaktes oder nicht kompaktes Boson aus der Bosonisierung?
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