Kleinfaktoren sind die Operatoren, die sicherstellen, dass die Antikommutierung zwischen den verschiedenen Arten während des Bosonisierungsvorgangs korrekt ist. Laut dieser berühmten Rezension von Jan Von Delft sind sie die Operatoren, die für das Erhöhen oder Senken der Fermionenzahl verantwortlich sind. Aber die meiste Literatur neigt oft dazu, diesen Faktor zu ignorieren. Kürzlich bin ich auf dieses Papier gestoßen, in dem sie eine explizite Darstellung der Klein-Faktoren (in Anhang A) gegeben haben. Aber leider kann diese Darstellung die verschiedenen fermionischen Teilchenzahlzustände nicht verbinden. Ich bin wirklich verwirrt darüber, was genau Kleinfaktoren sind. Bitte helfen Sie mir, meine Zweifel zu lösen.
Das vollständige Verständnis der Klein-Faktoren ist eines der Dinge, die nicht wirklich wichtig sind, außer wann es passiert ... Ich denke, deshalb finden Sie viele verschiedene, scheinbar inkompatible Versionen in der Literatur. Ich fand das auch verwirrend, als ich Bosonisierung lernte, also fühle ich dich. Schließlich stieß ich auf die Vorlesungsunterlagen von Schultz, Cuniberti und Pieri, die sich als sehr hilfreich erwiesen. (In der arXiv-Version steht die relevante Diskussion nach Gl. (4.17) und im Anhang. In der von Springer veröffentlichten Version steht sie nach Gl. (2.96) und im Anhang. Haldanes Herleitung in seinem Artikel von 1979 ( paywalled ) könnte ebenfalls nützlich sein, obwohl es als weniger einfach angesehen wird.)
Wir beginnen oft mit einem fermionischen Hamiltonoperator und bosonisieren diesen. Wie Sie sagen, besteht die Idee der Klein-Faktoren darin, sicherzustellen, dass die bosonisierte Version die fermionische Version originalgetreu repliziert. Es gibt zwei Dinge, die die bosonischen Felder nicht können, für die das Heilmittel die Einführung der Klein-Faktoren ist
Genau dies leistet die bei von Delft und Schoeller gegebene Definition . Wenn wir an thermodynamischen Eigenschaften interessiert sind (z. B. Korrelationsfunktionen als ), aber die Tatsache, dass die Klein-Faktoren die Teilchenzahl verändern, kommt einer verschwindenden Verschiebung in gleich . Daher wird diese Struktur oft vernachlässigt und es bleibt ein viel einfacher aussehender Kleinfaktor übrig. Häufig wird eine Darstellung in Form von Dirac-Gammamatrizen verwendet, die der bekannten Clifford-Algebra gehorcht. (Diese werden oft als eine Art fiktives Majorana-Fermion angesehen.) Meiner Erfahrung nach ist dies die häufigste Form von Kleinfaktoren, die in der Literatur anzutreffen sind.
Angenommen, wir arbeiten im thermodynamischen Limit und haben uns für eine „Majorana“-Darstellung für unsere Kleinfaktoren entschieden, die ich bezeichnen werde . Wir bosonisieren alle Terme in unserem Hamiltonoperator und beschließen, sie nach ihren Kleinfaktoranteilen zu gruppieren. Wenn diese (mangels eines besseren Wortes) "Kleinfaktor-Vorfaktoren" pendeln, können wir davon ausgehen, dass wir uns in einem bestimmten Sektor davon befinden Kleinraum und ersetzen diese Vorfaktoren durch ihre Eigenwerte. Dies kann als eine Art Lehrenfixierung angesehen werden.
Ein gutes Beispiel dafür, wie dies in der Praxis funktioniert, finden Sie im Anhang der Studie von Schultz et al. Vorlesungsnotizen. Wenn wir dies tatsächlich tun, diese Vorfaktoren durch ihre Eigenwerte ersetzen, haben wir einen rein bosonischen Hamiltonoperator erreicht! Ein beachtlicher Teil der Literatur macht diesen Sprung gleich und geht davon aus, dass dies möglich ist - gleichsam die Klein-Faktoren ignorierend. Um fair zu sein, ist dies normalerweise möglich, zumindest in vielen physikalisch relevanten Fällen, wie z. B. Fermionen mit interner SU(N)-Symmetrie.
Um es kurz zu machen, je nachdem, welches System Sie beschreiben möchten, können verschiedene geeignete Auswahlmöglichkeiten für Klein-Faktoren verfügbar sein.
Ich habe das nicht sorgfältig überprüft, aber ich gehe davon aus, dass sie implizit davon ausgehen, dass sie sich in der thermodynamischen Grenze befinden. Dann brauchen wir den Klein-Faktor nur noch, um die Antikommutierungsbeziehungen richtig hinzubekommen, was auf verschiedene Weise erreicht werden kann (wie z. B. in Sénéchals Anmerkungen zur Bosonisierung erwähnt wird ). Sie werden feststellen, dass die Form, die sie in Gl. (A3) ist der Art und Weise sehr ähnlich, wie Antikommutierungsbeziehungen in der Jordan-Wigner-Transformation von Spins zu Fermionen erzwungen werden. Der Vorteil dieser Art von Klein-Faktor* besteht darin, dass kein zusätzlicher Hilbert-Raum eingeführt werden muss, in dem die Klein-Eigenzustände leben können.
*Ich bin mir nicht sicher, ob das ein passender Name ist, aber sie verwenden ihn, also bleibe ich dabei.
Boa_Constrictor
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