Frage zur funktionellen Bosonisierung

Question

Frage zur funktionellen Bosonisierung

Kiryl Pesotski

Lassen Sie mich etwas konkret werden. Wir betrachten ein Weyl-Teilchen an $S^{1}$ , mit dem folgenden Hamiltonoperator

H = v \int_{0}^{2 π} ψ^{†} (X) (- ich \partial_{X}) ψ (X) D X

$\mathcal{H}=v\int_{0}^{2\pi}\psi^{\dagger}(x)(-i\partial_{x})\psi(x)dx$ Solche Teilchen haben die Eigenschaft, dass

ρ (X) = ψ^{†} (X) ψ (X)

$\rho(x)=\psi^{\dagger}(x)\psi(x)$ ist schlecht definiert, in dem Sinne, dass der Erwartungswert von

ρ (x)

$\rho(x)$ weicht ab. Aus diesem Grund ändern wir die Definition der normalen Ordnung in

ρ (X) =: ψ^{†} (X) ψ (X) := ψ^{†} (X) ψ (X) - \bar{ρ} (X)

$\rho(x)=:\psi^{\dagger}(x)\psi(x):=\psi^{\dagger}(x)\psi(x)-\bar{\rho}(x)$ Wobei der Überbalken der Erwartungswert ist. Mit dieser Symbolik haben wir das

[ρ (X), ρ (X^{'})] = \frac{ich}{2 π} δ^{'} (X - X^{'})

$[\rho(x), \rho(x')]=\frac{i}{2\pi}\delta'(x-x')$ Statt wie sonst

[ρ (x), ρ (x^{'})] = 0

$[\rho(x), \rho(x')]=0$ . Wir wissen auch, dass man für chirale Bosonen hat

[φ (X), φ (X^{'})] = - ich π Zeichen (xx')

$[\varphi(x), \varphi(x')]=-i\pi~\mbox{sign(x-x')}$ Also durch zweimaliges Differenzieren des bosonischen Kommutators bzgl

x

$x$ und dann in Bezug auf

x^{'}

$x'$ , erhalten wir genau den Kommutator der Dichten, vorausgesetzt, dass

ρ (X) = \frac{1}{2 π} \partial_{X} φ (X)

$\rho(x)=\frac{1}{2\pi}\partial_{x}\varphi(x)$ So weit, ist es gut. Als man das sieht

[ρ (X), ψ (X^{'})] = - ψ (X) δ (X - X^{'})

$[\rho(x), \psi(x')]=-\psi(x)\delta(x-x')$ Um diese Vertauschungsrelation zu erfüllen, müssen wir klug raten. Das heißt, wenn man davon ausgeht

ψ (x) = e^{i φ (x)}

$\psi(x)=e^{i\varphi(x)}$ , ist es leicht zu zeigen, dass die Algebra tatsächlich erfüllt ist. Ich bin zu diesem Zeitpunkt ziemlich zufrieden mit allem, es scheint, dass wir eine kanonische Transformation und bla-bla-bla gefunden haben. Was normalerweise in der Literatur dann behauptet wird

H = v \int_{0}^{2 π} ψ^{†} (X) (- ich \partial_{X}) ψ (X) D X = \frac{v}{4 π} \int_{0}^{2 π} (\partial_{X} φ (X))^{2} D X

$\mathcal{H}=v\int_{0}^{2\pi}\psi^{\dagger}(x)(-i\partial_{x})\psi(x)dx=\frac{v}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}(\partial_{x}\varphi(x))^{2}dx$ Und das ist ein Punkt, an dem ich hängen bleibe. So

ψ^{†} (X) (- ich \partial_{X}) ψ (X) = e^{- ich φ (X)} (- ich \partial_{X}) e^{ich φ (X)} = e^{- ich φ (X)} (\partial_{X} φ (X)) e^{ich φ (X)} = e^{- ich [φ (X), \cdot]} \partial_{X} φ (X) = ?

$\psi^{\dagger}(x)(-i\partial_{x})\psi(x)=e^{-i\varphi(x)}(-i\partial_{x})e^{i\varphi(x)}=e^{-i\varphi(x)}(\partial_{x}\varphi(x))e^{i\varphi(x)}=e^{-i[\varphi(x), \cdot]}\partial_{x}\varphi(x)=?$ Dh was ist der Kommutator

[\partial_{x} φ (x), φ (x)]

$[\partial_{x}\varphi(x), \varphi(x)]$ ? Macht es überhaupt Sinn? In diesen Ausdruck darf man auch schreiben

(\partial_{X} φ (X)) e^{ich φ (X)} = 2 π ρ (X) ψ (X) = 2 π ρ (X) ψ (X^{'}) |_{X^{'} = X} = 2 π ψ (X^{'}) ρ (X) |_{X^{'} = X} - 2 π ψ (X) δ (X - X^{'}) |_{X^{'} = X} = 2 π ψ (X) ρ (X) + ? = e^{ich φ (X)} \partial_{X} φ (X) + ?

$(\partial_{x}\varphi(x))e^{i\varphi(x)}=2\pi\rho(x)\psi(x)=2\pi\rho(x)\psi(x')\big{|}_{x'=x}=2\pi\psi(x')\rho(x)\Big{|}_{x'=x}-2\pi\psi(x)\delta(x-x')\Big{|}_{x'=x}=2\pi\psi(x)\rho(x)+?=e^{i\varphi(x)}\partial_{x}\varphi(x)+?$ Was mache ich falsch?

Kiryl Pesotski

Und wenn man sich über die Divergenz des Erwartungswertes der Dichte wundert, ist es in dem Sinne singulär

\bar{ρ (x)} =< ψ^{†} (x) ψ (x) >= lim_{δ \to 0} < ψ^{†} (x) ψ (x + δ) >= lim_{δ \to 0} (\frac{1}{2 π i δ} + O (1))

$\bar{\rho(x)}=<\psi^{\dagger}(x)\psi(x)>=\lim_{\delta\rightarrow{0}}<\psi^{\dagger}(x)\psi(x+\delta)>=\lim_{\delta\rightarrow{0}}\Big(\frac{1}{2\pi{i}\delta}+\mathcal{O}(1)\Big)$ . Die rigorose Neudefinition der normalen Ordnung ist also

: ψ^{†} (x) ψ (x) := lim_{δ \to 0} (ψ^{†} (x) ψ (x + δ) - \frac{1}{2 π i δ})

$:\psi^{\dagger}(x)\psi(x):=\lim_{\delta\rightarrow0}(\psi^{\dagger}(x)\psi(x+\delta)-\frac{1}{2\pi{i}\delta})$

müde

Sie können sich Kapitel 7 dieses netten Artikels ansehen: arxiv.org/abs/cond-mat/9805275 Ich bin mir auch ziemlich sicher, dass das Buch von Gianmarchi über Bosonisierung diesen Punkt auch ausführlich behandeln wird ...

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Frage zur funktionellen Bosonisierung

Und wenn man sich über die Divergenz des Erwartungswertes der Dichte wundert, ist es in dem Sinne singulär $\bar{\rho(x)}=<\psi^{\dagger}(x)\psi(x)>=\lim_{\delta\rightarrow{0}}<\psi^{\dagger}(x)\psi(x+\delta)>=\lim_{\delta\rightarrow{0}}\Big(\frac{1}{2\pi{i}\delta}+\mathcal{O}(1)\Big)$ . Die rigorose Neudefinition der normalen Ordnung ist also $:\psi^{\dagger}(x)\psi(x):=\lim_{\delta\rightarrow0}(\psi^{\dagger}(x)\psi(x+\delta)-\frac{1}{2\pi{i}\delta})$
Sie können sich Kapitel 7 dieses netten Artikels ansehen: arxiv.org/abs/cond-mat/9805275 Ich bin mir auch ziemlich sicher, dass das Buch von Gianmarchi über Bosonisierung diesen Punkt auch ausführlich behandeln wird ...

David Bar Mosche · Answer 1

Ich folge im Grunde dem ersten Kapitel von Bosonization von Michael Stone.

Ausgehend von der Bosonisierungsformel:

ψ (X) =: e^{ich ϕ (X)} :

$\psi(x) = :e^{i\phi(x)}:$ Und der Hamiltonian

H = ich \int D X ψ_{R}^{†} (X) \partial_{X} ψ_{R} (X)

$H = i \int dx \psi^{\dagger}_R(x) \partial_x \psi_R(x)$

Bei der Bosonisierung der zusammengesetzten Terme müssen wir point splitten und uns um die normale Reihenfolge kümmern nach:

: e^{ich A ϕ (X_{1})} :: e^{ich B ϕ (X_{2})} :=: e^{ich A ϕ (X_{1}) + ich B ϕ (X_{2})} : e^{A B Protokoll (X_{1} - X_{2})}

$:e^{ia\phi(x_1)}::e^{ib\phi(x_2)}: =:e^{ia\phi(x_1)+ib\phi(x_2)}:e^{ab\log{(x_1-x_2)}}$

Somit haben wir:

\begin{aligned} ψ_{R}^{†} (X) \partial_{X} ψ_{R} (X) & = lim_{X^{'} \to X} : e^{- ich ϕ (X^{'})} : \partial_{X} : e^{ich ϕ (X)} : \\ = lim_{X^{'} \to X} : e^{- ich ϕ (X^{'})} :: e^{ich ϕ (X)} : ich \partial_{X} ϕ (X) \\ = lim_{X^{'} \to X} (X^{'} - X)^{- 1} : e^{- ich ϕ (X^{'}) + ich ϕ (X)} : ich \partial_{X} ϕ (X) \\ = lim_{X^{'} \to X} (X^{'} - X)^{- 1} (1 - ich (X^{'} - X) \partial_{X} ϕ (X) + Ö ((X^{'} - X)^{2})) ich \partial_{X} ϕ (X) \\ = lim_{X^{'} \to X} \frac{ich}{X - X_{1}} + \partial_{X} ϕ (X) \partial_{X} ϕ (X) + Ö (X^{'} - X) \end{aligned}

$\begin{align*} \psi^{\dagger}_R(x) \partial_x \psi_R(x) & = \lim_{x' \to x} :e^{-i \phi(x')}: \partial_x :e^{i \phi(x)}:\\ &= \lim_{x' \to x} :e^{-i \phi(x')}: :e^{i \phi(x)}:i \partial_x \phi(x)\\ &=\lim_{x' \to x} (x'-x)^{-1}:e^{-i \phi(x') + i \phi(x)}: i \partial_x \phi(x)\\ &= \lim_{x' \to x} (x'-x)^{-1} \Big(1 - i (x'-x) \partial_x \phi(x) + O((x'-x)^2)\Big)i \partial_x \phi(x)\\ & = \lim_{x' \to x}\frac{i}{x-x_1}+ \partial_x \phi(x) \partial_x \phi(x) + O(x'-x) \end{align*}$ Der Singularterm wird durch die normale Ordnung der rechten Seite erledigt: Somit erhalten wir:

H = ich \int D X (ψ_{R}^{†} (X) \partial_{X} ψ_{R} (X) = ich \int D X : (\partial_{X} ϕ (X))^{2} :

$H = i \int dx (\psi^{\dagger}_R(x) \partial_x \psi_R(x) = i \int dx :( \partial_x \phi(x))^2 :$

Update: Nachweis der normalen Bestellidentität:

: e^{ich A ϕ (X_{1})} :: e^{ich B ϕ (X_{2})} := e^{ich A ϕ_{-} (X_{1}) + ich A ϕ_{+} (X_{1})} e^{ich B ϕ_{-} (X_{2}) + ich B ϕ_{+} (X_{2})}

$:e^{ia\phi(x_1)}::e^{ib\phi(x_2)}: = e^{ia\phi_{-}(x_1)+ia \phi_{+}(x_1)} e^{ib\phi_{-}(x_2)+ib \phi_{+}(x_2)}$

Wo $\phi_{+}$ enthält nur Erstellungsoperatoren und $\phi_{-}$ Vernichtungsoperatoren. Um den Ausdruck normal zu ordnen, müssen wir zwischen dem zweiten und dritten Term pendeln.

Verwendung des Campbell-Baker-Hausdorff (CBH)

e^{A} e^{B} = e^{A + B} e^{[A, B] / 2}

$e^{A} e^{B} = e^{A+B} e^{[A, B]/2}$

(für $[A, B] = const.$ )

Die relevanten Modi aus der Moduserweiterung

ϕ_{-} (X) = \sum_{N > 0} \sqrt{\frac{2}{N}} A_{N} e^{- \frac{N X}{L}}

$\phi_{-}(x)= \sum_{n>0} \sqrt{\frac{2}{n}} a_n e^{-\frac{nx}{L}}$

ϕ_{+} (X) = \sum_{N > 0} \sqrt{\frac{2}{N}} A_{N}^{†} e^{\frac{N X}{L}}

$\phi_{+}(x)= \sum_{n>0} \sqrt{\frac{2}{n}} a_n^{\dagger}e^{\frac{nx}{L}}$

$L$ ist die Quantisierungsboxlänge, die schließlich ins Unendliche gebracht wird

Verwenden

[A_{N}, A_{M}^{†}] = δ_{M N}

$[a_n, a_m^{\dagger}] = \delta_{mn}$ Wir bekommen:

[ϕ_{-} (X_{1}), ϕ_{+} (X_{2})] = 2 \sum_{N > 0} \frac{1}{N} e^{- \frac{N (X_{1} - X_{2})}{L}} = 2 Protokoll (1 - e^{- \frac{(X_{1} - X_{2})}{L}}) \to_{L \to \infty} 2 Protokoll (X_{1} - X_{2}) + C Ö N S T .

$[\phi_{-}(x_1), \phi_{+}(x_2)] = 2\sum_{n>0}\frac{1}{n}e^{-\frac{ n(x_1-x_2)} {L} } = 2 \log(1-e^{-\frac{ (x_1-x_2)} {L} })\rightarrow_{L\to \infty} 2\log(x_1-x_2) + \mathrm{const.}$

Das macht gerade sehr viel Sinn, vielen Dank für deine Antwort und deinen Hinweis!!!
Können Sie bitte einen Beweis für die Aussage liefern $:e^{ia\varphi(x)}::e^{ib\varphi(x')}:=:e^{ia\varphi(x)+ib\varphi(x')}:e^{iab\ln(x-x')}$ ?
Könnten Sie bitte die letzte Zeile Ihrer Herleitung näher erläutern? Ist $x_1 \equiv x'$ ? Warum tut $(x'-x)^{-1} \partial_x \phi = 1/(x-x')$ ?

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