Vom Lagrange- zum Hamilton-Operator im Fermionischen Modell

Die kanonischen Impulse ändern sich nicht, wenn Sie der Lagrange-Funktion eine totale Ableitung hinzufügen.

Die jeweilige Gesamtableitung, die Sie zur Lagrange-Funktion hinzufügen wollten, sowie die Lagrange-Funktion selbst sind frei$i,j$Indizes. Sie haben sicherlich etwas anderes gemeint, denn der Lagrange sollte keine freien Indizes wie diesen haben. Lassen Sie mich annehmen, dass Sie beide Ausdrücke gemeint haben, die mit der Summe und dem Vorfaktor summiert werden sollen$\sum_{ij} c_{ij}$. Vielleicht meinten Sie wirklich, dass der Lagrange-Operator ein Monom für feste Werte von ist$i,j$.

Aber darum geht es hier nicht. Der für Ihre Frage relevante Fehler ist, dass Sie einen Phasenraum mit Koordinaten betrachtet haben$\psi_j$,$\bar\psi_i$,$\pi_{\psi_i}$, Und$\pi_{\bar\psi_j}$, und Sie denken, dass sie unabhängige Koordinaten im Phasenraum sind. Das wären zu viele Phasenraumkoordinaten für ein so begrenztes System.

Nun, sie sind nicht unabhängig. Die richtige Ableitung unter Verwendung einer beliebigen Form des Lagrange-Operators wird Ihnen helfen$\pi_{\psi_i}=-\bar \psi_i$(ohne eine Hälfte; und Gleichungen, die durch einfache Konjugationen aus dieser erhalten werden können!), so bedeutet es, dass das "Gleiche" nicht differenziert ist$\psi$'s sind auch ihre eigenen Momente.

Wenn Sie die Lagrange-Funktion so umschreiben, dass die redundante Notation eliminiert wird, dh Sie glauben nicht, dass abhängige Koordinaten tatsächlich unabhängig sind (dies ist der Fehler, der dazu geführt hat, dass die kanonischen Impulse 1/2 ihrer sind richtigen Wert; zum Beispiel haben Sie falsch verwendet$\partial\dot{\bar\psi_i} / \partial \psi_j = 0$, was nicht stimmt, in der ersten von Ihnen erwähnten Dynamik), das werden Sie sehen

$$\frac{\partial L}{\partial \dot\psi_j }=-\bar\psi_i$$ wenn ich deine verwirrende Nicht-Summierung übernehme $i,j$. Es gibt keinen Faktor von 1/2. Um dieses Ding ohne Probleme herzuleiten, ist es in der Tat hilfreich, zuerst die Lagrange-Funktion umzuschreiben als $\bar\psi_i\dot\psi_j$durch Addition der entsprechenden Gesamtableitung. Dieses Formular ist einzigartig, weil es keine enthält $\dot{\bar\psi_i}$und nein $\psi_j$, wird also nur als Funktion der unabhängigen 1/2 der Freiheitsgrade ausgedrückt.

Der Hamilton-Operator ist natürlich Null, wenn der fermionische Lagrange-Operator nur den kinetischen Term mit der Zeitableitung enthält.

Es ist nicht ganz klar, was Lagrangian OP im Sinn hat. Hier nehmen wir an, dass die Lagrange-Funktion lautet

$$L~=~\frac{i}{2} g_{IJ} \left(\overline{\psi}^I \dot{\psi}^J-\dot{\overline{\psi}}^I \psi^J \right) + \frac{1}{2} h_{IJ} \left(\overline{\psi}^I \dot{\psi}^J+\dot{\overline{\psi}}^I \psi^J \right), \tag{1}$$

Wo$\psi^{I}$ein komplexes Skalarfeld mit ungeraden Grassmann-Werten ist, und$\overline{\psi}^I$ist der komplex konjugierte Körper. (Diese Wahl ist teilweise von einer der anderen Phys.SE-Fragen von OP inspiriert.) Die Metriken sind konstant

$$g_{JI}~=~g_{IJ}~=~\overline{g}_{JI}, \qquad h_{JI}~=~h_{IJ}~=~\overline{h}_{JI}. \tag{2}$$

Der zweite Term in der Lagrange-Funktion (1) ist ein totaler Ableitungsterm. Dies ist nur zum Spaß enthalten, um zu sehen, wie dies den Quantisierungsprozess nicht beeinflusst. Um den Hamilton-Formalismus abzuleiten, verwenden wir eine Grassmann-ungerade Version dieser Phys.SE -Antwort. (Wir empfehlen dem Leser, sich mit dem geraden Grassmann-Modell in dieser Antwort vertraut zu machen, bevor er versucht, das ungerade Grassmann-Modell in dieser Antwort zu verstehen.)

Die kanonischen Antikommutierungsbeziehungen (CAR) lauten

$$\{\psi^I, \pi_J \}_{PB}~=~\delta^I_J~=~\{\overline{\psi}^I, \overline{\pi}_J \}_{PB} ,\tag{3}$$

$$\{\overline{\psi}^I, \pi_J \}_{PB}~=~0~=~\{\psi^I, \overline{\pi}_J \}_{PB} .\tag{4}$$

Die ungeraden Grassmann-Impulse sind durch rechte Ableitungen der Lagrange-Funktion gegeben

$$\pi_I~:=~L\frac{\stackrel{\leftarrow}{\partial^r}}{\partial \dot{\psi}^I}~=~\frac{1}{2}\overline{\psi}^J(i g_{JI}+h_{JI}), \tag{5}$$

$$\overline{\pi}_I~:=~L\frac{\stackrel{\leftarrow}{\partial^r}}{\partial \dot{\overline{\psi}}^I} ~=~\frac{1}{2}(i g_{IJ}-h_{IJ})\psi^J.\tag{6}$$

Der Hamiltonoperator ist identisch Null,

$$H~:= ~ \pi_I\dot{\psi}^I+\overline{\pi}_I\dot{\overline{\psi}}^I - L~=~0.\tag{7}$$

Die Gleichungen (5) und (6) ergeben zwei Hauptbeschränkungen

$$0~\approx~\chi_I~:=~\pi_I-\frac{1}{2}\overline{\psi}^J(i g_{JI}+h_{JI}), \tag{8}$$

$$0~\approx~\overline{\chi}_I~:=~\overline{\pi}_I-\frac{1}{2}(i g_{IJ}-h_{IJ})\psi^J.\tag{9}$$

Sie sind wiederum Beschränkungen zweiter Klasse,

$$\{\chi_I, \overline{\chi}_J \}_{PB}~=~-ig_{IJ}~=~\{\overline{\chi}_I, \chi_J \}_{PB} ,\tag{10}$$

$$\{\chi_I, \chi_J \}_{PB}~=~0~=~\{\overline{\chi}_I, \overline{\chi}_J \}_{PB} ,\tag{11}$$

unabhängig von der$h_{IJ}$metrisch.

Die Dirac-Klammer wird

$$\begin{align}\{f, g \}_{DB}~:=~& \{f, g \}_{PB}- i\{f, \chi_I\}_{PB}g^{IJ}\{ \overline{\chi}_J,g\}_{PB}\cr &- i\{f, \overline{\chi}_I\}_{PB}g^{IJ}\{ \chi_J,g\}_{PB}.\end{align}\tag{12}$$

Mit anderen Worten, die Dirac-Antikommutierungsbeziehungen werden

$$\{\psi^I, \overline{\psi}^J \}_{DB}~=~-ig^{IJ}~=~\{\overline{\psi}^I, \psi^J \}_{DB} ,\tag{13}$$

$$\{\psi^I, \psi^J \}_{DB}~=~0~=~\{\overline{\psi}^I, \overline{\psi}^J \}_{DB} ,\tag{14}$$

in Übereinstimmung mit der Faddeev-Jackiw-Methode. Die entsprechenden Operator-Antikommutierungsbeziehungen lauten

$$\{\hat{\psi}^I, \hat{\overline{\psi}}^J \}_{+}~=~\hbar g^{IJ}~=~\{\hat{\overline{\psi}}^I, \hat{\psi}^J \}_{+} ,\tag{15}$$

$$\{\hat{\psi}^I, \hat{\psi}^J \}_{+}~=~0~=~\{\hat{\overline{\psi}}^I, \hat{\overline{\psi}}^J \}_{+} .\tag{16}$$