(1/2,0)(1/2,0)(1/2, 0) Darstellung der Lorentz-Gruppe SO(1,3)SO(1,3)SO(1,3)

Das passiert, wenn Physiker versuchen, eine Gruppentheorie zu machen, sich aber nicht die Mühe machen, die richtigen mathematischen Begriffe einzuführen.

1. Dazwischen gibt es keinen Isomorphismus$\mathrm{SO}(1,3)$Und$\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$, Ersteres ist nicht kompakt, Letzteres ist kompakt. Mehr zu diesem scheinbar verwirrenden Thema finden Sie in dieser Antwort . Außerdem mit dem Tensorsymbol$\otimes$falsch ist, ist das Produkt ein direktes Produkt, kein Tensorprodukt, von Gruppen, siehe auch diese Frage .

2. Wahr ist, dass es eine Äquivalenz endlichdimensionaler Darstellungen der Algebren gibt$\mathfrak{so}(1,3)$Und$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$, letzteres ist die kompakte reelle Form der Komplexbildung des ersteren. Tatsächlich ist die Karte zwischen ihnen durch Verwendung gegeben$N_i^\pm = \frac{1}{2}(J_i \pm\mathrm{i}K_i)$als Grundlage des letzteren in Bezug auf die Grundlage$J_i,K_i$der ehemaligen. Auch dies ist kein Isomorphismus von Lie-Algebren, es ist nur so, dass die endlichdimensionalen Darstellungen dieser Algebren äquivalent sind.

3. Das Argument in dem Bit, das Sie verwirrt, soll wie folgt lauten: Sie sind gegeben$(1/2,0)$Darstellung$\rho : \mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^2)$. Seit$\rho$, als Darstellung, ist ein Lie-Algebra-Homomorphismus, das wissen Sie$\rho(N_i^-) = 0$impliziert$\rho(J_i) = \mathrm{i}\rho(K_i)$. Hier alle Matrizen$N_i^-,J_i,K_i,0$Matrizen sind zweidimensionale Matrizen auf$\mathbb{C}^2$. Du weißt, dass$\rho(N_i^-) = 0$als zweidimensionale Matrizen, weil die$(s_1,s_2)$Vertretung definiert ist: Nehmen Sie die einzelnen Vertretungen$\rho^+ : \mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^{2s_1+1})$Und$\rho^- : \mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^{2s_2+1})$und definieren Sie die Gesamtdarstellungskarte durch

   $$\rho : \mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^{2s_1+1}\otimes\mathbb{C}^{2s_2+1}), h\mapsto \rho^+(h)\otimes 1 + 1 \otimes \rho^-(h)$$ womit ich eigentlich das Tensorprodukt von Vektorräumen meine$\otimes$. Für$s_1 = 1/2,s_2 = 0$, dies ist eine zweidimensionale Darstellung, bei der$\rho^-$ist identisch Null - und die Null ist die zweidimensionale Nullmatrix in den Zwei-mal-Zwei-Matrizen$\mathfrak{gl}(\mathbb{C}^2)$.