Warum ist die „eigentliche“ Spurweite des Standardmodells SU(3)×SU(2)×U(1)/NSU(3)×SU(2)×U(1)/NSU(3) \times SU( 2) \times U(1) /N?

Baez hat tatsächlich ein anderes Papier (mit Huerta), das näher darauf eingeht. Insbesondere Sec. 3.1 ist, wo es erklärt wird, zusammen mit einigen netten Beispielen. Das Ergebnis ist, dass die Hyperladungen bekannter Teilchen genau richtig funktionieren, sodass die Wirkung dieses Generators trivial ist. Konkret haben wir

Left-handed quark     Y = even integer + 1/3
Left-handed lepton    Y = odd integer
Right-handed quark    Y = odd integer + 1/3
Right-handed lepton   Y = even integer

Da dies die einzigen Werte für bekannte Fermionen im Standardmodell sind, tut dieser Generator nichts. Im Grunde genommen können Sie also einfach die vollständige Gruppe modulo der von erzeugten Untergruppe nehmen$(\alpha, \alpha^{-3}, \alpha^2)$-- wo$\alpha$ist eine sechste Wurzel der Einheit.

Es gibt auch dieses Papier von Saller, das ausführlicher auf die "zentralen Korrelationen" der Spurgruppe des Standardmodells eingeht, jedoch in einer technischeren Darstellung. Auch Saller geht in Kapitel 6.5.3 seines Buches etwas ins Detail .

Wie können wir sehen, dass die Gruppe$N$generiert durch

$$g = (e^{2\pi i/3} I, -I, e^{i\pi /3}) \in SU(3)\times SU(2)\times U(1)$$ wirkt trivial auf alle Felder im Standardmodell?

Beachten Sie das zunächst$g$liegt im Zentrum von$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$. Daher ist ihr Repräsentant in der adjungierten Darstellung die Identität. Da sich Eichbosonen in der adjungierten Darstellung transformieren,$N$wirkt trivial auf sie.

Die linkshändigen Leptonenfelder sind in der trivialen Darstellung von$SU(3)$und sind ein$SU(2)\times U(1)$Wams,

$$\Psi = \begin{pmatrix} \nu_L \\ \psi_L \end{pmatrix}.$$ Baez verwendet eine Ladungsnormalisierung, die diese Felder haben $U(1)$aufladen $-3$., also verwandeln sie sich auch trivial unter $N$. Das rechtshändige Lepton $\psi_R$hat $U(1)$aufladen $-6$in diesem System, also ist es auch trivial.

Die linkshändigen (rechtshändigen) Quarks haben$U(1)$aufladen$1$($4$oder$-2$) in diesem System und transformiere unter$SU(3)$. Es ist leicht zu sehen, dass sie sich auch trivial unter transformieren$N$.

(Beachten Sie, dass verschiedene Quellen die$1/3$Verhältnis zwischen Quark- und Leptonladungen an verschiedenen Stellen, seien Sie also vorsichtig beim Vergleichen.)

Der Hauptpunkt ist, dass, wenn man eine konsistente Eichtheorie hat, die Materie mit Eichgruppe enthält

$$G:=SU(3)\times SU(2)\times U(1),$$ und wenn man teilt $G$mit einer normalen Untergruppe $N$, dann könnten die Materierepräsentationen der Materiefelder potenziell mehrwertig werden. Es ist jedoch möglich zu wählen $N=\mathbb{Z}_6$so, dass die Materiefelder des Standardmodells invariant sind. Und $N=\mathbb{Z}_6$ist in diesem Fall das maximal Mögliche.

Siehe auch diese und diese Phys.SE -Beiträge und Links darin für eine ähnliche Diskussion für den elektroschwachen Sektor.

Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Verweise:

1. JC Baez, Calabi-Yau Manifolds and the Standard Model, arXiv:hep-th/0511086 .

2. D. Tong, JHEP 07 (2017) 104 , arXiv:1705.01853 . (Huttipp: knzhou .)