Wie transformiert sich ein Higgs-Triplett unter SU(2)L×U(1)YSU(2)L×U(1)YSU(2)_L \times U(1)_Y, wenn es als 2×22×22\times geschrieben wird 2 Matrix?

In der Tat ein Drilling$\vec{\phi}$Durch Transformation unter der Triplettdarstellung können Matrizen T in einen Pauli-Vektor dotiert werden , um eine formale Adjungierte zu erhalten, also eine spurlose 2 × 2-Matrix

$$\Phi=\tfrac{1}{2}\vec{\phi}\cdot \vec{\tau}~,$$ Transformation als Dublettdarstellung, konjugiert auf beiden Seiten. Dies wird als adjungierte Aktion bezeichnet . $$\Phi \mapsto e^{i\vec{\tau}\cdot \frac{\vec{\theta}}{2}}~ \Phi ~e^{-i\vec{\tau}\cdot \frac{\vec{\theta}}{2}}.$$

In Ihrem Fall,

$$\begin{equation} \Delta=\begin{pmatrix} \frac{\Delta^{+}}{\sqrt{2}} & \Delta^{++} \\ \Delta^0 & - \frac{\Delta^{+}}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}= \sqrt{2}\Delta^+ \frac{\tau_3}{2} +\Delta^{++} \frac{\tau_1+i\tau_2}{2} + \Delta^0 \frac{\tau_1-i\tau_2}{2} = \sqrt{2}\Delta^+ \frac{\tau_3}{2} +\Delta^{++} \frac{\tau_ +}{2} + \Delta^0 \frac{\tau_-}{2} \\ = \begin{pmatrix}\Delta^{++}+\Delta^0\\i(\Delta^{++}-\Delta^0)\\\sqrt{2}\Delta^+ \end{pmatrix}\cdot \frac{\vec{\tau}}{2}, \end{equation}$$ wo Sie die Normalisierung beachten $$\vec{\bar{\phi}}\cdot \vec{ \phi }=2(\Delta^{++~~2}+\Delta^{+~~2}+\Delta^{0~~2}).$$ Sie können also leicht sehen, dass der kartesische 3-Vektor einheitlich auf den transparenteren sphärischen Basisvektor gedreht werden kann $\sqrt{2}(\Delta^{++},\Delta^+, \Delta^0)$. Die Matrix $U^\dagger$Das Erreichen dieser kartesischen zu sphärischen Basisänderung ist in Fußnote Nr. 3 des WP-Artikels oder dieser Antwort angegeben . In einer harmlosen rephasierten Form, $$U^\dagger \begin{pmatrix}\Delta^{++}+\Delta^0\\i(\Delta^{++}-\Delta^0)\\\sqrt{2}\Delta^+ \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} 1 & -i & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & i & 0\end{matrix}\right) ~\begin{pmatrix}\Delta^{++}+\Delta^0\\i(\Delta^{++}-\Delta^0)\\\sqrt{2}\Delta^+ \end{pmatrix}= \sqrt{2}\begin{pmatrix}\Delta^{++}\\\Delta^+ \\ \Delta^0 \end{pmatrix}.$$

• Um die Normalisierung des Halbwinkels und der Vorzeichen zu bestätigen, nehmen Sie nur die 3. Komponente von θ als nicht verschwindend und infinitesimal an, sodass das Rotationsinkrement von Δ eine einfachere Matrix mit verschwindenden Diagonalen ist. Überprüfen Sie, ob die Inkrementkomponenten von$\vec{\phi}$sind jetzt durch Kommutatoren (adjungiert) gegeben und stimmen vollständig mit dem klassischen Kreuzproduktinkrement der von Ihnen angegebenen Triplettdarstellung überein. Es ist dann bei der Kommutierung mit offensichtlich$\tau_3/2$dass die$T_3$Eigenwerte des Tripletts$(\Delta^{++},\Delta^+, \Delta^0)$sind (1,0,-1), so dass seine$Y=Q-T_3=1$. Ich normalisiere die schwache Hyperladung auf moderne ("alternative") Weise, dh lasse den überflüssigen starken Nenner von 2 fallen.

• In dieser Antwort finden Sie möglicherweise die Ableitung von T zu allen Ordnungen durch diese Konstruktion .