Mittelgruppe und Symmetriebruch

Ich beginne mit der Beschreibung des bekanntesten Beispiels für das Brechen der Mittensymmetrie:

Das Zentrum der Eichgruppe ist in Gittereichtheorien von Bedeutung, da der Erwartungswert der Polyakov-Schleife unter einer zentralen Transformation nur dann invariant ist, wenn er Null ist.

Obwohl die Gitterwirkung unter einer zentralen Transformation invariant ist, wird diese Symmetrie gebrochen, wenn der Erwartungswert der Polyakov-Schleife ungleich Null ist, was sie zu einem Ordnungsparameter für einen Phasenübergang macht.

Heuristisch repräsentiert die Polyakov-Schleife$\exp(-F/T)$, Wo$F$ist die freie Energie eines einzelnen, statischen Quarks. Wenn es null ist, bedeutet dies, dass die freie Energie unendlich ist, was bedeutet, dass es keine einzelnen statischen Quarks gibt, dh die Theorie ist einschränkend. Wenn es nicht Null ist, ist die Theorie deconfined.

Nun zu der allgemeineren Frage, wie die Zentrumssymmetrie entsteht und was sie ist:

In einer euklidischen (Gitter-) Eichtheorie bei endlicher Temperatur das Eichfeld$A$muss periodischen Randbedingungen in euklidischer Zeitrichtung gehorchen, d.h

$$A(t + \beta,\vec x) = A(t,\vec x)$$ und offensichtlich Transformationen messen $g(t,x)$mit $$g(t + \beta,\vec x) = g(t,\vec x)$$ diese Randbedingung beibehalten und die Eichwirkung invariant lassen. Kann man aber auch haben $$g(t + \beta,\vec x) = Zg(t,\vec x)$$ für irgendein Element $Z$aus der Messgerätegruppe $\mathrm{SU}(N)$. Das Eichfeld wandelt sich darunter so um $$A(t + \beta,\vec x) = ZA(t,\vec x)Z^\dagger$$ muss gelten, damit die Randbedingungen gelten. Daher wird die Eichtransformation berücksichtigt $Z$aus der Mitte $\mathbb{Z}_N$der Spurweite Gruppe, seitdem $Z$Und $Z^\dagger$pendeln mit allen möglichen $A$, Und $ZZ^\dagger = 1$liefert die richtige Randbedingung. Die Eichwirkung ist unter solchen zentralen Transformationen invariant.

Die Polyakov-Schleife ist es jedoch nicht. Es ist invariant unter Transformationen, die die Randbedingungen richtig respektieren, aber nicht unter den zentralen. Daher bricht ein Erwartungswert ungleich Null für die Polyakov-Schleife diese zentrale Symmetrie, aber nicht die Eichsymmetrie als solche. Das Hinzufügen dynamischer Quarks in die Aktion bricht explizit die Zentrumssymmetrie, da die Randbedingung für die Quarks durch die zentralen Transformationen nicht eingehalten werden kann.

Die Phasen$Z$die hier auftreten, sind analog zu den Aharonov-Bohm-Phasen/nicht-trivialen Wilson-Schleifen, die man in topologisch nicht-trivialen Raumzeiten vorkommt - die euklidische Theorie ist aufgrund der periodischen Randbedingungen "wie ein Torus" und daher topologisch nicht-trivial.