VEV bedeutet Symmetriebruch, kann aber keine bestimmte Untergruppe auswählen?

Question

VEV bedeutet Symmetriebruch, kann aber keine bestimmte Untergruppe auswählen?

wenige4

Nehmen wir an, wir haben eine Skalartheorie mit an $O(N)$ Symmetrie, für die die Skalarfelder $\phi_{nm}$ als Rang umwandeln $2$ Tensor. Ich kann eine Aktion aufschreiben, die spontan die Symmetrie bricht

S = - \int D^{D} X (\frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ_{N M} \partial^{μ} ϕ^{M N} + λ (ϕ_{N M} ϕ^{M N} - v^{2})^{2})

$S=-\int d^dx\Big(\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi_{nm}\partial^{\mu}\phi^{mn}+\lambda(\phi_{nm}\phi^{mn}-v^2)^2\Big)$

Auf Baumebene, $\phi_{nm}$ erwirbt einen VEV:

⟨ ϕ_{N M} ⟩ = v M_{N M}

$\langle\phi_{nm}\rangle=vM_{nm}$

Wo $M_{nm}$ ist beliebig $N\times N$ Matrix so dass $M_{nm}M^{mn}=1$ . Je nach Form $M_{nm}$ , bleiben unterschiedliche Symmetrien erhalten. Zum Beispiel, wenn $M_{nm}=\delta_{nm}$ , dann voll $O(N)$ Symmetrie bleibt erhalten. Es ist jedoch durchaus denkbar z $M_{nm}$ eine Matrix zu sein, die nur unter einer Untergruppe von unveränderlich ist $O(N)$ , sagen $O(K)$ für $K<N$ .

Was ich mich frage, ist, muss diese Theorie zwangsläufig eine Untergruppe herausgreifen, die erhalten bleibt (vielleicht über ein anderes VEV)? Oder hat diese Theorie einen sehr komplizierten Modulraum, der Regionen mit unterschiedlichen Symmetriebrechungsmustern hat?

Kosmas Zachos

Sind die Skalare reell? Symmetrisch? Antisymmetrisch?

wenige4

Sie sind real. Ich habe es allgemein gehalten, indem ich keine (Anti-)Symmetrie angenommen habe, aber Sie können, wenn Sie möchten.

Kosmas Zachos

Sie müssen zuerst beweisen/demonstrieren, dass eine reelle/willkürliche Aufspaltung in eine φ=S+A-Kombination erfolgt, und dann im kinetischen Term S und A entkoppeln (warum?) usw. Aber dann wird zB das reine S-Stück orthogonal zu diagonalisiert ein Vektormodell ... Sie haben den generischen Ling-Fong-Li-Fall gemeistert , nicht wahr?

wenige4

Ich kannte dieses Papier nicht, danke für den Hinweis!

wenige4

@CosmasZachos Der Autor vermeidet den hier vorliegenden Fall. In ihrer Notation ist mein Fall

λ_{2} = 0

$\lambda_2=0$ . Ohne

λ_{2}

$\lambda_2$ Das Potenzial für den symmetrischen Fall ist für jedes VEV der Form in meiner Frage minimal.

wenige4

Eine Diagonalmatrix ist nicht dasselbe wie ein Vektor, wenn ich mich nicht irre. Beispielsweise kann man durch eine orthogonale Transformation nicht alle Diagonalelemente bis auf eines zu 0 machen.

wenige4

Für den Fall, den ich gegeben habe, ist die Lösung, die die potentielle Energie minimiert, genau das, was ich gegeben habe. Es gibt keine Einschränkung für die Matrix

M

$M$ abgesehen von der Normalisierung. In diesem Fall gibt es keinen Grund, warum das Symmetriebruchmuster sein sollte

O (N) \to O (N - 1)

$O(N)\to O(N-1)$ .

Antworten (1)

VEV bedeutet Symmetriebruch, kann aber keine bestimmte Untergruppe auswählen?

Sie sind real. Ich habe es allgemein gehalten, indem ich keine (Anti-)Symmetrie angenommen habe, aber Sie können, wenn Sie möchten.
Sie müssen zuerst beweisen/demonstrieren, dass eine reelle/willkürliche Aufspaltung in eine φ=S+A-Kombination erfolgt, und dann im kinetischen Term S und A entkoppeln (warum?) usw. Aber dann wird zB das reine S-Stück orthogonal zu diagonalisiert ein Vektormodell ... Sie haben den generischen Ling-Fong-Li-Fall gemeistert , nicht wahr?
@CosmasZachos Der Autor vermeidet den hier vorliegenden Fall. In ihrer Notation ist mein Fall $\lambda_2=0$ . Ohne $\lambda_2$ Das Potenzial für den symmetrischen Fall ist für jedes VEV der Form in meiner Frage minimal.
Eine Diagonalmatrix ist nicht dasselbe wie ein Vektor, wenn ich mich nicht irre. Beispielsweise kann man durch eine orthogonale Transformation nicht alle Diagonalelemente bis auf eines zu 0 machen.
Für den Fall, den ich gegeben habe, ist die Lösung, die die potentielle Energie minimiert, genau das, was ich gegeben habe. Es gibt keine Einschränkung für die Matrix $M$ abgesehen von der Normalisierung. In diesem Fall gibt es keinen Grund, warum das Symmetriebruchmuster sein sollte $O(N)\to O(N-1)$ .

Kosmas Zachos · Answer 1

Lassen Sie mich mit meinem Vorschlag, einem ausführlichen Kommentar, deutlicher werden. Ihre O(N) -Darstellung ist reduzierbar,

ϕ = S + A + S ICH,

$\phi= S+A+sI,$ wobei S das symmetrische spurlose Stück ist, A das antisymmetrische Stück und s das Singulett, proportional zur Spur von

ϕ

$\phi$ , was die Symmetriebrechung in deinem Potenzial vergiftet, wie du schon bemerkt hast,

λ {(Tr S^{2} - Tr A^{2} + N S^{2} - v^{2})}^{2},

$\lambda \left (\operatorname{Tr} S^2- \operatorname{Tr} A^2 +Ns^2 -v^2 \right )^2,$ mit

⟨ s ⟩ = v / \sqrt{N}

$\langle s\rangle= v /\sqrt{N}$ .

Überprüfen Sie, wie die Spuren die Irreps in der Reduktion entkoppeln. Alle drei Summanden können ein Stück vev beitragen

Sie haben dies bereits bei N=3 gesehen , das sich in ein Quintett, ein Triplett und ein Singulett auflöst. Drilling! Um also sein vev zu erkunden, nehmen Sie S=0 und s=0 und entfalten A ,

A_{M N} = ϵ_{M N k} φ^{k},

$A_{mn}= \epsilon_{mnk} \varphi ^k,$ daher das O(3) vektorlineare σ -Modell,

λ {(2 φ^{M} φ^{M} - v^{2})}^{2} .

$\lambda \left ( 2\varphi^m \varphi^m -v^2 \right )^2.$ Nehmen

⟨ φ^{3} ⟩ = v / \sqrt{2}

$\langle \varphi ^3\rangle= v/\sqrt{2}$ wie üblich, was O(3) in O(2) zerlegt .

In der generischen Matrixsprache

⟨ ϕ_{M N} ⟩ = ⟨ A_{M N} ⟩ = ϵ_{M N 3} v / \sqrt{2},

$\langle \phi_{mn} \rangle= \langle A_{mn} \rangle=\epsilon_{mn3} v/\sqrt{2},$ behält die 1-2-Austausch-(Anti-)Symmetrie.

Wenn wir s=0 und A=0 genommen haben , überprüfen Sie ebenso, ob dieselbe O(2)-Untergruppe von O(3) das minimale vev verlässt

⟨ S ⟩ = \frac{v}{\sqrt{6}} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix}]

$\langle S \rangle = \frac{v}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0 & 1 & 0 \\0& 0& -2 \end{bmatrix}$ unveränderlich. Hinweis: N=3 ermöglicht ein gemeinsames Ergebnis für das Interstitial

λ_{2} = 0

$\lambda_2=0$ von Ling-Fong Li 1974 !!

Dieses O(2) ist also immer ununterbrochen, aber verschwindende vev s für die nichttrivialen Irreps stellen die anderen 2 Symmetrien wieder her. In Ihrem Fall sollten Sie in der Lage sein, die VEVs der drei Wiederholungskomponenten durch baryzentrische Koordinaten in einem gleichseitigen Dreieck zu zeichnen.

Solche metastabilen Potentiale, "Talpotentiale" im Feldraum, treten in Supergravitationstheorien auf und beruhen auf winzigen externen Strahlungskorrekturtermen, um eine Vakuumwahl auszulösen.

Es ist dann nicht unvernünftig, die Struktur aller 3 Darstellungen skalargekoppelt im Potential für generisches N zu untersuchen .

Ihre Antwort ist sehr hilfreich, aber ich denke, meine Frage war eher, was konzeptionell passiert, wenn keine Untergruppe bevorzugt wird, obwohl Symmetriebrüche auftreten. In dem Fall, den ich gegeben habe, passiert Folgendes.
OK, das hättest du deutlich machen sollen . Solche metastabilen Potentiale, vgl. die berühmten „Talpotentiale“ in supersymmetrischen Theorien, über die es sich lohnt, etwas zu lernen, wählen nicht das Vakuum. Diese Wahl wird durch äußere Faktoren, Strahlungskorrekturen usw. diktiert, die die Rolle von verdrängen $\lambda_2$ Sie haben das Fehlen von bemerkt. Axion-Physik hängt von ihnen ab.

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