Gibt es projektive Darstellungen der Lorentz-Gruppe, die NICHT aus einer Clifford-Algebra stammen?

Diese Antwort basiert auf der wegweisenden Arbeit von Berg, DeWitt-Morette, Gwo und Kramer (BDGK) über die Physik der Doppelabdeckungen der Lorentz-Gruppen.

Obwohl der Artikel den allgemeinen Fall mehrerer Raum- und Zeitdimensionen behandelt; in der folgenden Antwort nur die$(3,1)$Fall betrachtet wird. Außerdem werden nur die endlichdimensionalen (nicht einheitlichen) Spinor-Darstellungen betrachtet, da wir wissen, wie man sie in unendlich dimensionale einheitliche Darstellungen der Poincaré-Gruppe umwandelt.

Erstens sind die physisch interessanten Gruppen die Doppelabdeckungen von$O(3,1)$statt$SO(3,1)$weil sie unterschiedliche Paritäts- und Zeitumkehroperatoren enthalten und nicht nur ihr Produkt (BDGK: Abbildung-1 Seite 17 und Abbildung-2 Seite 19).

Die doppelten Abdeckungen von$O(3,1)$werden Pin-Gruppen genannt (ihre repräsentativen Vektoren werden Pinoren genannt).$O(3,1)$besitzt 8 Arten von doppelten Abdeckungen genannt$\mathrm{Pin}^{abc}(3,1)$($a,b.c\in \mathbb{Z_2}$entsprechend (BDGK-Anhang C):

Nur zwei der oben genannten Doppelabdeckungen können aus einer Clifford-Algebra erhalten werden, der sie entsprechen:$\Lambda_P^2 = -\Lambda_T^2 = -\Lambda_{PT}^2 = 1$Und$\Lambda_T^2 = -\Lambda_P^2 = -\Lambda_{PT}^2 = 1$bzw. Diese Gruppen werden Cliffordian genannt und normalerweise bezeichnet mit:$\mathrm{Pin}(3,1)$Und$\mathrm{Pin}(1,3)$bzw.

Bemerkungen:

1. Mir ist keine physikalische Anwendung der nicht-Cliffordschen Pin-Gruppen bekannt.

2. Im Grunde kennen wir die Pin-Gruppen der Elementarteilchen bis auf das Neutrino im neutrinolosen Doppel-Beta-Zerfall nicht. BDGK schlägt einige Experimente vor, die den Typ der Pin-Gruppe unterscheiden können.

1. Jede irreduzible komplexe Darstellung einer Clifford-Algebra in$d$Dimensionen haben Dimensionen$2^{\lfloor d/2\rfloor}$. Einen Beweis für diese Behauptung findet man zB in diesem Beitrag von Qmechanic .

2. Wie die Frage bereits sagt, induziert jede Darstellung einer Clifford-Algebra eine Darstellung ihrer entsprechenden Lorentz-Algebra.

Nehmen wir also eine willkürliche irreduzible Darstellung der Lorentz-Algebra in vier Dimensionen, beschriftet mit$(s_1,s_2) \in (\frac {1}{2}\mathbb{Z})^2$von Dimension$D = (2s_1 + 1)(2s_2 + 1)$. Es gibt drei Fälle:

• $D < 4$: Dies ist nur bei einem der Fall$s_i = 1/2,1$und der andere ist Null. Der$(1/2,0)$-Darstellungen sind die Weyl-Spinoren und Unterdarstellungen der einzelnen irreduziblen Darstellungen der Clifford-Algebra in vier Dimensionen, der Dirac-Spinoren. Der$(1,0)$-Darstellungen sind die von (anti-)selbst-dualen 2-Formen und stammen nicht von der Clifford-Algebra ab, jedoch haben diese auch "Phase$+1$" als projektive Darstellung, also fällt dies in den Fall, wo die Frage die Antwort als "offensichtlich" ansieht. ¹

• $D= 4$: Die einzige vierdimensionale Irrep der Lorentz-Gruppe ist$(1/2,1/2)$, die gewöhnlichen 4-Vektoren, die keine Darstellung der Clifford-Algebra enthalten.

• $D > 4$: Kein Irrep der Lorentz-Algebra mit einer Dimension größer als 4 kann mit einer Darstellung der Clifford-Algebra durch die Punkte 1. und 2. oben kompatibel sein: Wenn es eine kompatible Darstellung der Clifford-Algebra gäbe, müsste sie durch den Punkt reduzierbar sein 1, dh eine echte Unterdarstellung haben. Aber nach Punkt 2. würde dies auch eine richtige Unterdarstellung der Lorentz-Algebra induzieren, was bedeutet, dass das Irrep nicht irreduzibel wäre, was einen Widerspruch ergibt.

Daher ist insbesondere jede Darstellung der Lorentz-Algebra mit$D > 4$Und$s_1 + s_2$nicht ganzzahlig ist eine projektive Darstellung, die nicht aus einer Darstellung der Clifford-Algebra stammt.

^{1 Eine lineare Darstellung der Lorentz-Algebra integriert genau dann zu einer linearen (und nicht nur projektiven) Darstellung der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe$s_1 + s_2$ist ganzzahlig.}