Aufbau von Lorentz-Transformationen mit Generatoren und der Wigner-Rotation

Wie ich in meinem Kommentar andeute, wird die Aussage praktisch durch die Betrachtung der CBH-Erweiterung des Boost-Produkts und der führenden Ordnungen der Kommutatoren der Generatoren plausibel gemacht, aber es ist umständlich, eine explizite Antwort zu erhalten; in unserem Fall Bestimmung des Wigner-Winkels θ und der Richtung und Größe des Boosts bzgl$|v_3| (\hat{x} \cos\phi +\hat{y} \sin\phi)$.

Trotzdem , ja, dank Weyl, wenn man mit der Spinor-Map arbeitet, bestimmt die Logik der Boost- und Rotationsgeneratoren diese Parameter zwar nicht nur sauber, sondern verrät beim Hinsehen weiter, dass die rechte Seite, die man hat, möglich ist und praktisch unvermeidlich, vor zu viel expliziter Algebra.

Das Geheimnis ist, dass alle BCH-Erweiterungen einfach explizit durch Pauli-Matrix-Algebra durchgeführt werden können und die Parameter des Schnelligkeitsraums in den Exponenten letztendlich sauberer sind. Der zu zahlende Preis besteht darin, sich wieder mit der Sprache vertraut zu machen. (vgl. zB Misner, Thorne, Wheeler, §41.3.)

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Voranhang mit der verwendeten Sprache : Angesichts des Isomorphismus der Lorentz-Gruppe zu PSL (2, C) nimmt die Spinor-Karte 4-Vektoren zu 2 × 2-hermitischen Matrizen, die von den Pauli-Matrizen und der Identität überspannt werden,

$$X = \left[ \begin{matrix} t+z & x-iy \\ x+iy & t-z \end{matrix} \right]=\mathbb{1} t+\vec{\sigma}\cdot \vec{x}.$$ In diesem Raum wirkt die Lorentz-Transformation, eine unimodulare Matrix, sowohl links als auch rechts konjugiert, $$X \mapsto \Lambda X \Lambda^\dagger ,$$ Hermitizität bewahren.

Außerdem sind die Lorentz-Generatoren nicht alle hermitesch . Die der Drehungen sind hermitesch, aber die der Boosts sind antihermitesch!

$$\vec{K}=\frac{i}{2} \vec{\sigma} \qquad \mapsto B(v_1 \hat{x}) =e^{\zeta \sigma_1/2}, \qquad B(v_2 \hat{y}) =e^{\xi \sigma_2/2},\\ \vec{J}=\frac{1}{2} \vec{\sigma} \qquad \mapsto R(\theta \hat{z})= e^{i\theta \sigma_3/2} .$$ Beachten Sie, dass die Parameter im Exponenten Winkel und Geschwindigkeiten sind,$v/c=\tanh \xi$, So$\gamma=\cosh \xi$. Diese haben überlegene algebraische Eigenschaften.

Rufen Sie schließlich die Richtung des endgültigen resultierenden Schubs auf$(\hat{x} \cos\phi +\hat{y} \sin\phi)$für einen zu bestimmenden Winkel φ ; So,$\sigma_f=(\hat{x} \cos\phi +\hat{y} \sin\phi)\cdot \vec{\sigma}$; und dessen Parameter/Schnelligkeit$f=\operatorname{arctanh} (v_3/c)$.

Erinnern Sie sich außerdem an die einfachen Erweiterungen der Exponentiale von Pauli-Matrizen und Pauli-Vektoren .

Verwenden Sie als Erinnerungskrippenblatt aus einem praktischen Nachschlagewerk von Başkal, Kim & Noz ihre Tabelle auf S. I-4, Tabelle 1.1.

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Jetzt reduziert sich Ihre Boost-Zusammensetzung einfach auf

$$B(v_2 \hat{y})B(v_1 \hat{x}) = e^{\xi \sigma_2/2} e^{\zeta \sigma_1/2}= \left(\mathbb{1} \cosh \frac{\xi}{2} +\sigma_2 \sinh \frac{\xi}{2}\right)\left (\mathbb{1} \cosh \frac{\zeta}{2} +\sigma_1 \sinh \frac{\zeta}{2}\right ) \\ =\mathbb{1} \cosh \frac{\xi}{2} \cosh \frac{\zeta}{2} +i\sigma_3 \sinh \frac{\xi}{2} \sinh \frac{\zeta}{2}+\sigma_2 \sinh \frac{\xi}{2} \cosh \frac{\zeta}{2} +\sigma_1 \sinh \frac{\zeta}{2} \cosh \frac{\xi}{2} .$$

Sie sehen sofort, dass das aus der Pauli-Matrix-Multiplikation entstandene i eine Rotation , die Wigner-Rotation, in z- Richtung vorschreibt.

Darüber hinaus,$J_3$Entsprechend werden die x- und y- Boosts ineinander gedreht. Es ist also sinnvoll, eine rechte Seite der gegebenen Form zu postulieren und möglichst nur nach den Unbekannten aufzulösen,

$$B( \tanh f ~\hat{k})R_z(\theta) = e^{f \sigma_k/2} e^{i\theta \sigma_3/2}= \left(\mathbb{1} \cosh \frac{f}{2} +\sigma_f \sinh \frac{f}{2}\right) \left(\mathbb{1} \cos \frac{\theta}{2} +i\sigma_3 \sin \frac{\theta}{2}\right)\\ =\mathbb{1} \cosh \frac{f}{2}\cos \frac{\theta}{2} + i\sigma_3 \sin \frac{\theta}{2}\cosh \frac{f}{2} + \sigma_x \cos \left (\phi+\frac{\theta}{2} \right )\sinh \frac{f}{2}+\sigma_y \sin \left (\phi+\frac{\theta}{2} \right )\sinh \frac{f}{2} .$$

Und sonst nichts. Man kann also nach θ, φ und f auflösen , indem man diesen Ausdruck mit dem obigen vergleicht, und das war's! Lassen Sie mich nach θ auflösen , um etwas anzumerken, das selten geschätzt wird.

Vergleich der Koeffizienten der Identität und$\sigma_3$Erträge

$$\cosh \frac{\xi}{2}\cosh \frac{\zeta}{2}=\cosh \frac{f}{2}\cos \frac{\theta}{2},\\ \sinh \frac{\xi}{2}\sinh \frac{\zeta}{2}=\cosh \frac{f}{2}\sin \frac{\theta}{2}.$$

Teilen Sie den zweiten durch den ersten, um einen einfachen Ausdruck für den Wigner-Winkel zu erhalten,

$$\tan \frac{\theta}{2}= \tanh \frac{\xi}{2}\tanh \frac{\zeta}{2}.$$

Durch ein Wunder der Trigonometrie-mit-hyperbolischer-Trigonometrie entspricht dieser Ausdruck dem etwas mystischen Winkelausdruck der anderen Antwort .

$$\tan \theta= \frac{\sinh \xi \sinh \zeta }{\cosh \xi +\cosh \zeta}~~,$$ was magischer erscheint.

Dies ist ein Standardmerkmal beim Arbeiten in Halbwinkeln im Rapidity-Raum – die Mathematik liebt sie.

Das sieht man vielleicht auch

$$\tan \left(\phi+ \frac{\theta}{2}\right )= \tanh \frac{\xi}{2}\coth \frac{\zeta}{2}~,$$ Und $$\cosh^2\frac{f}{2}=\cosh\left( \frac{\xi+\zeta}{2}\right) ~.$$

Schließlich könnten Sie denken, dass ich hier mit Gruppenelementen und nicht mit Generatoren gearbeitet habe, aber eine kurze Reflexion könnte darauf hinweisen, dass es die Schnelligkeiten und Winkel sind, also Lie-Algebra-Parameter, die natürlich durch die Maschinerie fließen, und nicht die Gruppenobjekte und Parameter. Die Abkürzungen leben in der Algebra.