Warum enthält die De-Broglie-Dispersionsrelation keinen konstanten Term?

Question

Warum enthält die De-Broglie-Dispersionsrelation keinen konstanten Term?

Physik
Streuung
Quantenmechanik
Klein-Gordon-Gleichung
Schrödinger-Gleichung

Calmarius

Wikipedia sagt, dass die Dispersionsrelation für ein nicht-relativistisches Teilchen ist:

ω = \frac{ℏ k^{2}}{2 M} .

$\omega = \frac{\hbar k^2}{2m}.$

Aber als ich versuchte, es selbst zu berechnen, scheine ich einen konstanten Term in dieser Formel zu bekommen. Meine Ableitung ist folgende:

Neuordnung der De Broglie-Beziehungen Ich habe eine generische Dispersionsbeziehung:

ω = \frac{E k}{P}

$\omega = \frac{E k}{p}$

Einsetzen des nichtrelativistischen Energielimits:

ω = \frac{(M C^{2} + \frac{P^{2}}{2 M}) k}{P}

$\omega = \frac{\left( m c^2 + \frac{p^2}{2m} \right)k}{p}$

Impuls ersetzen:

ω = \frac{(M C^{2} + \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 M})}{ℏ}

$\omega = \frac{\left( m c^2 + \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \right)}{\hbar }$

Durch die Division erhalte ich:

ω = \frac{M C^{2}}{ℏ} + \frac{ℏ k^{2}}{2 M}

$\omega = \frac{m c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m}$

Vielleicht übersehe ich etwas Offensichtliches. Die Relation in der Wikipedia enthält diesen konstanten Begriff nicht, warum? Vielleicht wird im nicht-relativistischen Fall die Massenenergie überhaupt nicht als Energie betrachtet? Das wäre interessant...

Phönix87

m c^{2}

$mc^2$ ist die in der Masse des Teilchens eingeschlossene Energie, sie ist also wie darin "eingefroren". Sie können Energie also einfach neu definieren, indem Sie diesen Wert entfernen und Energieniveaus nehmen, indem Sie sich auf den konstanten Begriff als 0-Energieniveau beziehen

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/34214/2451

Calmarius

@Phoenix87 Warum darf ich Energieniveaus auf diese Weise beeinflussen? Wenn ich Frequenzen mit einer willkürlichen Konstante vorspanne, warum bleibt das Modell dann korrekt?

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Warum enthält die De-Broglie-Dispersionsrelation keinen konstanten Term?

$mc^2$ ist die in der Masse des Teilchens eingeschlossene Energie, sie ist also wie darin "eingefroren". Sie können Energie also einfach neu definieren, indem Sie diesen Wert entfernen und Energieniveaus nehmen, indem Sie sich auf den konstanten Begriff als 0-Energieniveau beziehen
@Phoenix87 Warum darf ich Energieniveaus auf diese Weise beeinflussen? Wenn ich Frequenzen mit einer willkürlichen Konstante vorspanne, warum bleibt das Modell dann korrekt?

PhotonBoom · Answer 1

Ich glaube, das ist einfacher, als Sie es sich machen. Wenn Sie die nichtrelativistische Energiebeziehung ersetzen möchten, ist der korrekte Energieterm nur die kinetische Energie:

E = \frac{P^{2}}{2 M}

$E = \frac{p^2}{2m}$

Alles weitere folgt daraus:

ω = \frac{ℏ^{2} k^{3}}{2 M} \times \frac{1}{ℏ k} = \frac{ℏ k^{2}}{2 M}

$\omega = \frac{\hbar^2 k^3}{2m} \times \frac{1}{\hbar k} = \frac{\hbar k^2}{2m}$

Dann stellt sich die Frage: Warum nur die kinetische Energie? Es ist der kleinere Teil der Gesamtenergie des Teilchens.
@Calmarius, Phoenix87 oben macht einen guten Punkt. Ein konstanter Energieterm wird nichts beeinflussen, da nur Energieunterschiede physikalisch bedeutsam sind. Daher sagte er, dass Sie die 0-Punkt-Energie neu definieren und den konstanten Term einfach ignorieren können.

Warum enthält die De-Broglie-Dispersionsrelation keinen konstanten Term?

Calmarius

Phönix87

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