Dispersionsrelation des Wellenpakets aus der Schrödinger-Gleichung

Question

Dispersionsrelation des Wellenpakets aus der Schrödinger-Gleichung

elduge

Ich habe eine Frage zur Herleitung der Dispersionsrelation eines Wellenpakets aus der Schrödinger-Gleichung.

Das Wellenpaket ist gegeben durch

ψ (X, T) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{D k}{2 π} ϕ (k) e^{ich (k X - ω (k) T)}

$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{2\pi}\,\phi(k)\,e^{i(kx-\omega(k)t)}$

Wo $\phi(k)$ ist die Fourier-Transformation von $\psi(x,t=0)$

ϕ (k) = \int_{- \infty}^{\infty} D X ψ (X, 0) e^{- ich k X},

$\phi(k)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\psi(x,0)\,e^{-ikx},$

dh $\phi(k)=|\phi(k)|\,e^{i\,\varphi(k)}$ mit $\varphi(k) \in \mathbb{R}$ Im Algemeinen.

Einsetzen der allgemeinen Form des Wellenpakets in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

[ich ℏ \partial_{T} + ℏ^{2} \frac{\nabla^{2}}{2 M}] ψ (X, T) = 0

$\left[i\hbar \partial_t+\hbar^2\frac{\nabla^2}{2m}\right]\psi(x,t)=0$

ergibt also

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{D k}{2 π} ϕ (k) [ℏ ω (k) - ℏ^{2} \frac{k^{2}}{2 M}] e^{ich (k X - ω (k) T)} = 0.

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{2\pi}\,\phi(k)\,\left[\hbar\,\omega(k)-\hbar^2\frac{k^2}{2m}\right]\,e^{i(kx-\omega(k)t)}=0.$

Meine Frage ist:

Was ist die Begründung dafür $\omega(k)=\frac{\hbar\,k^2}{2m}$ gegeben das $\phi(k) \in \mathbb{C}$ , dh $\phi(k)\ngtr 0$ Und $e^{i(kx-\omega(k)t)}\ngtr 0$ ? Seitdem kann das verschwindende Integral keinen verschwindenden Integralkern liefern.

Vielen Dank im Voraus!

elduge

@AccidentalFourierTransform Danke für die Bearbeitung, aber ich wollte es wirklich sagen

ϕ (k) ≯ 0

$\phi(k)\ngtr 0$ Und

e^{i (k x - ω (k) t)} ≯ 0

$e^{i(kx-\omega(k)t)}\ngtr 0$ (oder gleichwertig

ϕ (k) ≮ 0

$\phi(k)\nless 0$ Und

e^{i (k x - ω (k) t)} ≮ 0

$e^{i(kx-\omega(k)t)}\nless 0$ ), da die Möglichkeit eines Nulldurchgangs besteht. Folglich kann man darauf nicht schließen

[ℏ ω (k) - ℏ^{2} \frac{k^{2}}{2 m}] = 0

$\left[\hbar\,\omega(k)-\hbar^2\frac{k^2}{2m}\right] =0$ .

AccidentalFourierTransform

Oh, dann entschuldige! Aber wie auch immer, was tut

>

$>$ Und

<

$<$ meinst du hier? Es gibt keine (Gesamt-)Ordnung

C

$\mathbb C$ .

frei

Was meinst du mit den Symbolen

≯

$\ngtr$ (nicht größer als) und

≮

$\nless$ (nicht weniger als) im Zusammenhang mit komplexen Zahlen?

elduge

@AccidentalFourierTransform Entschuldigung für die Verwirrung und das schlampige Schreiben! Das meinte ich tatsächlich, da es keine Bestellung gibt

C

$\mathbb{C}$ man kann nicht sagen, dass eine der beiden Funktionen positiv oder negativ ist. Das war eigentlich meine Frage: Wie kann man auf die Dispersionsrelation schließen, wenn man keine Aussage über die Integranden treffen kann?

elduge

@freecharly Mein derzeitiges Verständnis ist, dass man verlangt, dass die Schrödinger-Gleichung für alle gilt

ϕ (k) \in C

$\phi(k) \in \mathbb{C}$ und für jeden

ω (k)

$\omega(k)$ Und

k

$k$ so dass die innere Klammer unter dem Integral identisch Null sein muss.

frei

@elduge - Du hast Recht. Das Fourier-Integral des Wellenpakets repräsentiert es durch seine sinusförmigen Wellenkomponenten

ϕ (k) e x p i (k x - ω t)

$\phi (k) expi(kx-\omega t)$ . Wie Sie aus dem Integranden Ihrer letzten Gleichung ersehen können, muss die Dispersionsrelation für jede nicht verschwindende Sinuswellenamplitude gelten

ϕ (k)

$\phi(k)$ .

Antworten (1)

Dispersionsrelation des Wellenpakets aus der Schrödinger-Gleichung

@AccidentalFourierTransform Danke für die Bearbeitung, aber ich wollte es wirklich sagen $\phi(k)\ngtr 0$ Und $e^{i(kx-\omega(k)t)}\ngtr 0$ (oder gleichwertig $\phi(k)\nless 0$ Und $e^{i(kx-\omega(k)t)}\nless 0$ ), da die Möglichkeit eines Nulldurchgangs besteht. Folglich kann man darauf nicht schließen $\left[\hbar\,\omega(k)-\hbar^2\frac{k^2}{2m}\right] =0$ .
Oh, dann entschuldige! Aber wie auch immer, was tut $>$ Und $<$ meinst du hier? Es gibt keine (Gesamt-)Ordnung $\mathbb C$ .
Was meinst du mit den Symbolen $\ngtr$ (nicht größer als) und $\nless$ (nicht weniger als) im Zusammenhang mit komplexen Zahlen?
@AccidentalFourierTransform Entschuldigung für die Verwirrung und das schlampige Schreiben! Das meinte ich tatsächlich, da es keine Bestellung gibt $\mathbb{C}$ man kann nicht sagen, dass eine der beiden Funktionen positiv oder negativ ist. Das war eigentlich meine Frage: Wie kann man auf die Dispersionsrelation schließen, wenn man keine Aussage über die Integranden treffen kann?
@freecharly Mein derzeitiges Verständnis ist, dass man verlangt, dass die Schrödinger-Gleichung für alle gilt $\phi(k) \in \mathbb{C}$ und für jeden $\omega(k)$ Und $k$ so dass die innere Klammer unter dem Integral identisch Null sein muss.
@elduge - Du hast Recht. Das Fourier-Integral des Wellenpakets repräsentiert es durch seine sinusförmigen Wellenkomponenten $\phi (k) expi(kx-\omega t)$ . Wie Sie aus dem Integranden Ihrer letzten Gleichung ersehen können, muss die Dispersionsrelation für jede nicht verschwindende Sinuswellenamplitude gelten $\phi(k)$ .

frei · Answer 1

Für ein Wellenpaket gibt es keine spezifische Dispersionsgleichung. Die Dispersionsgleichung

\begin{matrix} (1) & ω (k) = \frac{ℏ k^{2}}{2 M} \end{matrix}

$\omega (k)=\frac {\hbar k^2}{2m} \tag 1$ der Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen mit konstanter (null) potentieller Energie gilt für ebene Wellenlösungen

\begin{matrix} (2) & ψ = ψ_{0} \exp ich (\vec{k} \cdot \vec{R} - ω T) \end{matrix}

$\psi=\psi_0 \exp i(\vec k·\vec r-\omega t) \tag 2$ Das Wellenpaket setzt sich aus einer Überlagerung solcher ebener Wellen zusammen.

Warum gibt es für ein Wellenpaket keine Dispersionsrelation? Sollte es nicht einen geben, wenn ein Teilchen quantenmechanisch durch ein Wellenpaket beschrieben wird? Auf Wikipedia wird zB behauptet, dass es einen gibt.
Dispersionsrelationen geben die funktionale Beziehung an $\omega=f(k)$ zwischen der Frequenz $\omega$ (oder Energie $E=\hbar \omega)$ und Wellenvektor (Impuls $p=\hbar k)$ einer Sinuswelle. Das bedeutet quantenmechanisch, dass die Sinuswelle sowohl eine Eigenfunktion des Energie- als auch des Impulsoperators ist und somit sowohl die Energie als auch der Impuls des Teilchens genau bekannt sind, während der Ort völlig unbestimmt ist. Ein Wellenpaket ist keine (simultane) Eigenfunktion des Energie- und Impulsoperators und somit sind Energie und Impuls des Teilchens nicht exakt definiert.
@elduge - Wikipedia gibt unter dem angegebenen Link keine Dispersionsrelation für ein Wellenpaket an. Die Dispersionsrelation entspricht dort Gl. (1) und ist wieder der Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenvektor einer Sinuswelle.
Sorry, aber ich kann deiner Argumentation nicht folgen. Auch für ein Wellenpaket haben Energie- und Impulsoperator für ein konstantes Potential die gleichen Eigenfunktionen, da $\left[\hat{P},\hat{H}\right] = \left[\hat{P},\hat{V}\right]$ . Daher sollte man sie gleichzeitig messen können und es sollte eine Dispersionsrelation für ein Wellenpaket geben. Oder ist meine Überlegung falsch?
Sollte es andererseits für ein Wellenpaket mit nicht konstanter Phasengeschwindigkeit nicht eine Dispersionsrelation geben, wenn es sich zeitlich ausbreitet, also dispergiert ?
@elduge - Das Wellenpaket ist im Allgemeinen keine Eigenfunktion des Energie- und Impulsoperators. Für Energie und Impuls erhält man Erwartungswerte und endliche Unsicherheiten. Die Fourier-Komponenten $\phi(k) expi(kx-\omega t)$ sind Eigenfunktionen des Energie- und Impulsoperators. Das Wellenpaket setzt sich aus vielen Sinuskurven mit unterschiedlichen Frequenzen und Wellenvektoren zusammen.
@elduge - Die nichtlineare Abhängigkeit der Frequenzen und Wellenvektoren der Fourier-Komponenten des Wellenpakets führt zur "Streuung" der Wellenform.

Dispersionsrelation des Wellenpakets aus der Schrödinger-Gleichung

elduge

elduge

AccidentalFourierTransform

frei

elduge

elduge

frei

Antworten (1)

frei

elduge

frei

frei

elduge

elduge

frei

frei

Einführendes Quantum, Probleme mit dieser Randbedingung und diesem Potenzial

Können wir sicher annehmen, dass Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} immer in QM?

Elektron, das durch ein Stufenpotential von V0V0V_0 nach 0 wandert

Wann ist es sinnvoll, die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung zu lösen?

Erwartungswert des Hamiltonoperators?

Wie beweist man dp/dt = -dV/dx? Quantenmechanik [geschlossen]

Textinterpretation in Griffiths Einführung in QM

Warum ist ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx − \omega t)} eine gültige Wellenfunktion, da sie auf RR\Bbb R nicht endlich integrierbar ist?

Streuung vs. gebundene Zustände

Zeitumkehrsymmetrie in der Schrödinger-Gleichung und Entwicklung von Wellenpaketen