Warum ist der Hamiltonoperator in QFT der Generator der Zeitentwicklung?

In der nicht-relativistischen Quantenmechanik kann man ableiten, dass der auf Quantenzustände wirkende Zeittranslationsoperator (in natürlichen Einheiten) gegeben ist durch

e − ich H T ,
Wo H ist der Hamilton-Operator. Dies zeigt, dass der Hamiltonoperator tatsächlich der Generator von Zeittranslationen ist.

In der Quantenfeldtheorie (QFT) scheint der Hamiltonoperator auch der Generator von Zeitübersetzungen zu sein. (Ich hatte diese Woche einen Vortrag darüber.) Die Zeitentwicklung im Schrödinger-Bild ist nun gegeben durch

(1) ψ ( X → , 0 ) | 0 ⟩ → e − ich H T ψ ( X → , 0 ) | 0 ⟩
für ein freies Skalarfeld ψ , sagen. Oder wir können im Heisenberg-Bild die Zeitentwicklung nach darstellen
(2) ψ ( X → , T ) = e − ich H T ψ ( X → , 0 ) e ich H T
was dann eigentlich allgemeiner ist (1). Meine Frage lautet wie folgt.

Wie leitet man ab, dass die Zeitentwicklung in QFT durch (1) oder (2) gegeben ist? ich weiß, dass H ist die erhaltene Ladung, die der Zeitübersetzung entspricht, so dass eine Antwort von dieser Tatsache ausgehen könnte. Aber wenn die Antwort besagt, dass die konservierte Ladung einer Symmetrie immer der Generator der Symmetrie ist, würde ich einen Beweis / eine Ableitung davon begrüßen.

Ich bin verwirrt wegen deiner Frage. Die Quantenfeldtheorie ist eine spezielle Art der quantenmechanischen Theorie, daher sind die Prinzipien dieselben. H generiert Zeitübersetzungen aus genau dem gleichen Grund wie zuvor, und natürlich funktioniert die Schrödinger-Gleichung immer noch.
Außerdem müssen Sie mit Ihrer Notation vorsichtig sein. Ein (Quanten-)Skalarfeld ist keine Funktion ψ ( X → ) , das funktioniert nur für den klassischen Fall.
Zusätzlich zu dem, was knzhou sagt (der Hamiltonian ist per Definition der Hamiltonian der Generator der Zeitübersetzung), bin ich verwirrt von Ihrer Gl. (1). Ja, H erzeugt Zeitübersetzungen, sondern auf dem Raum von Zuständen und dem Feld ψ ( X ) ist ein Operator auf diesem Raum, kein Zustand selbst, also ist Gl. (1) ist falsch.
@knzhou Danke für den Anruf, du hast vollkommen recht. Ich habe meine Frage bearbeitet. Aber du sagst H generiert Zeitübersetzungen aus genau dem gleichen Grund wie zuvor. Also was war vorher der Grund? Der einzige Grund, den ich kenne, ist, dass es aus der Schrödinger-Gleichung abgeleitet werden könnte, was wir in QFT nicht tun können.
Dass jede erhaltene Ladung ihre entsprechende Symmetrie erzeugt, ist die Hamiltonsche Aussage eines inversen Noether-Theorems und nicht spezifisch für die Quantenfeldtheorie. Siehe diese ausgezeichnete Antwort von Qmechanic für einen Beweis des inversen Noether-Theorems.
@ACuriousMind Das klingt interessant. Ich werde es mir ansehen.
QFT gehorcht jedoch der Schrödinger-Gleichung. Wer hat dir gesagt, dass es nicht so ist?
@knzhou Sie sagen also, dass die Zustandsvektoren in QFT wirklich immer noch der Schrödinger-Gleichung gehorchen? Mein Verständnis war, dass sie die Klein-Gordon-Gleichung oder etwas Ähnliches erfüllen würden; aber wenn ich darüber nachdenke, bin ich mir nicht so sicher.
Mit der Schrödinger-Gleichung bezieht sich @knzhou auf die Gleichung für den Zustandsvektor, der an allen Punkten eine Funktion der Feldkonfiguration ist, dh Ψ [ ϕ ( X ) ] . Davon zu unterscheiden ist die Wellenfunktion in der „erstquantisierten“ Sprache, die nun zum Quantenfeld geworden ist ϕ ( X ) und in der klassischen Grenze erfüllt Klein-Gordon. Die Aussage „QFT erfüllt die Schrödinger-Gleichung“ ist einfach äquivalent zu „ H ist der Generator der Zeitübersetzung".
Um Ihr Rätsel zu lösen, ist es meiner Meinung nach am hilfreichsten, hier nicht auf eine großartige Antwort zu warten. Nehmen Sie einfach irgendein QFT-Buch zur Hand, lesen Sie den Abschnitt über das Noether-Theorem, nehmen Sie den Ausdruck für T 0 v , wessen ∫ D 3 X T 00 Komponente ist H , und beweisen Sie die Heisenberg-Gleichung ich ∂ T ϕ ( X ) = [ ϕ ( X ) , H ] . Gehen Sie zum Schrödinger-Bild, das ist die Schrödinger-Gleichung, obwohl niemand wirklich die Schrödinger-Gleichung in QFT verwendet. Kannst du auch zeigen P → ist der Generator der räumlichen Übersetzung.

Antworten (3)

Dein Bild ist nicht ganz richtig. In QFT wird die Wellenfunktion zu einem beobachtbaren Operator befördert, und X wird zum Parameter auf der gleichen Ebene herabgestuft wie T . Die Zeitentwicklung eines Operators ist nicht gegeben durch e − ich H T , das ist die Entwicklung eines Zustandsvektors. Operatoren entwickeln sich im Heisenberg-Bild wie folgt:

ψ ( T , X ) = e − ich H T ⁡ ψ ( 0 , X ) e ich H T .
Sie können jedoch noch weiter gehen und die Raumübersetzungsgeneratoren hinzufügen, um Folgendes zu erhalten:
ψ ( T , X ) = e − ich P μ X μ ⁡ ψ ( 0 ) e ich P μ X μ ,
im ( + , − , − , − ) Signatur Metrik.

Was hier vor sich geht, ist, dass die meisten QFT-Behandlungen den für eine Schrödinger-Behandlung notwendigen Zustandsvektor überschreiten. Dieser Zustandsvektor gehorcht immer noch einer Schrödinger-Gleichung, er muss nur in funktionale Analysen statt in gewöhnliche Kalküle umgewandelt werden.

Als Beispiel hat das freie reelle Skalarfeld eine Lagrange-Dichte:

L = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − M 2 2 ϕ 2 .
Der Impuls ist kanonisch konjugiert zu ϕ Ist π ≡ ∂ L ∂ ϕ ˙ = ϕ ˙ . Dies erzeugt auf die übliche Weise einen Hamilton-Operator:
H = ∫ D 3 ⁡ X [ 1 2 π 2 + 1 2 ( ∇ ϕ ) 2 + M 2 2 ϕ 2 ] .
Die Felder werden nun zu Operatoren befördert, die den zeitgleichen kanonischen Kommutierungsbeziehungen gehorchen, [ ϕ ( X ) , π ( j ) ] = ich δ ( X − j ) . Dem Zustandsvektor muss nun eine Wahrscheinlichkeitsdichte zugeordnet werden, pro Einheit Funktionsraum Volumen ( [ D ϕ ] ), zu jeder unterschiedlichen Konfiguration, die das Feld zu einem bestimmten Zeitpunkt annehmen kann. Dies wird als Wellenfunktion, bezeichnet Ψ [ ϕ ] . Die kanonischen Vertauschungsrelationen implizieren dies Ψ gehorcht einer Schrödinger-Gleichung:
∫ D 3 ⁡ X [ − 1 2 δ 2 Ψ δ ϕ ( X ) 2 + 1 2 ( ∇ ϕ ) 2 Ψ + M 2 2 ϕ 2 Ψ ] = ich ∂ Ψ ∂ T .
Diese Gleichung ist natürlich nur der einfache harmonische Oszillator, für den wir (nach Wechsel in den Fourier-Raum) auf übliche Weise Auf- und Abwärtsoperatoren konstruieren können. Der Grundzustand ist durch das Gaußsche Funktional gegeben:
Ψ 0 [ ϕ ] ∝ exp ⁡ ( − 1 2 ∫ D 3 ⁡ k [ [ ϕ ( k ) ] 2 k 2 + M 2 ] ) ,
mit angeregten Zuständen, die unter Verwendung von Erhöhungsoperatoren aufgebaut sind, A † ( k ) = k 2 + M 2 4 4 [ ϕ ( k ) − ich k 2 + M 2 π ( k ) ] , in gewohnter Weise.

Ich kann nur spekulieren, dass QFT aus zwei Gründen in den meisten Lehrbüchern nicht so gelehrt wird. Erstens wird QFT hauptsächlich zur Berechnung von Streuamplituden verwendet, und andere Formalismen sind einfacher zu erhalten. Zweitens könnten die Unendlichkeiten, die QFT plagen und eine Renormierung erfordern, in diesem Formalismus noch schwieriger zu handhaben sein. Dieses Papier von Long und Shore aus dem Jahr 1996 ist ein Beispiel für Fachleute, die diesen Formalismus verwenden.

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Was ich jedoch wirklich herausfinden möchte, ist, woher die Zeitentwicklungsgleichung in dem von Ihnen erwähnten Heisenberg-Bild tatsächlich kommt. Oder der allgemeine Koordinatenübersetzungsoperator für diese Angelegenheit.
Der Zeitentwicklungsoperator muss einheitlich sein durch die Definition des Zustandsvektors als Wahrscheinlichkeitsamplitude, ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1 . Diese Anforderung plus die Anforderung, dass die Zeitentwicklung kontinuierlich ist, führt über die Theorie der Lie-Gruppen direkt zur Shchrodinger-Gleichung. Dass der Hamiltonoperator der Generator von Zeitübersetzungen ist, ergibt sich letztlich aus dem Korrespondenzprinzip. Wenn Sie eine sehr gründliche Untersuchung wünschen, empfehle ich Weinbergs "The Quantum Theory of Fields Vol I" , insbesondere Kapitel 2

Der einfache Grund ist, dass es so für Wellen funktioniert. Die Grundlage der Quantenmechanik besteht darin, den gleichen Rahmen, der für Wellen verwendet wird, auch für Materie zu verwenden. Planck zeigte, dass Lichtquanten Energien haben, die durch h gegeben sind v , also ist die Entwicklung der Wellen gegeben durch e − ich E / ℏ   T . Wir bringen das zu den Materiepartikeln und voila.

Stellen Sie sich ein System im Zustand vor | ψ ⟩ . Alice verwendet einen Satz von Basiszuständen ⟨ A | . Der Zustand des Systems hat Komponenten ⟨ A | ψ ⟩ in Alices Bezugsrahmen. Bob verwendet Basiszustände ⟨ A ' | die durch eine einheitliche Koordinatentransformation mit Alices Basis in Beziehung stehen ⟨ A ' | = ⟨ A | U ^ . In Bobs Bezugssystem das System | ψ ⟩ hat Komponenten ⟨ A ' | ψ ⟩ = ⟨ A | U ^ | ψ ⟩ . Wir können uns das System in einem festen Zustand vorstellen | ψ ⟩ und Alice benutzt "Äxte" ⟨ A | und Bob verwendet "gedrehte Achsen" ⟨ A ' | = ⟨ A | U ^ . Dies ist der passive Standpunkt. Alternativ kann Bob an seine Komponenten denken ⟨ A ' | ψ ⟩ = ⟨ A | U ^ | ψ ⟩ = ⟨ A | ( U ^ | ψ ⟩ ) als Folge des Zustandswechsels von | ψ ⟩ Zu | ψ ' ⟩ = U ^ | ψ ⟩ in Bezug auf die feste Basis ⟨ A | . Dies ist der aktive Standpunkt. Beide Sichtweisen sind gleichwertig.

Lassen Sie uns den aktiven Blickwinkel verwenden, um zu sehen, wie ein Operator Ö ^ transformiert. Alice bereitet ein System in einem Zustand vor | ψ ⟩ . Bob sieht dieses System im Zustand | ψ ' ⟩ = U ^ | ψ ⟩ . Alice wirkt mit einem Operator auf den Zustand Ö ^ produzieren Ö ^ | ψ ⟩ . Bob sieht den neuen Zustand so U ^ ( Ö ^ | ψ ⟩ ) = U ^ Ö ^ U ^ − 1 U ^ | ψ ⟩ = ( U ^ Ö ^ U ^ − 1 ) U ^ | ψ ⟩ = ( U ^ Ö ^ U ^ − 1 ) | ψ ' ⟩ . Mit anderen Worten, Alices Operator Ö ^ erscheint Bob als Operator Ö ^ ' = U ^ Ö ^ U ^ − 1 .

Es folgt eine einheitliche Koordinatentransformation U ^ † = U ^ − 1 . Dies impliziert, dass eine infinitesimale unitäre Koordinatentransformation geschrieben werden kann U ^ = 1 − ich ϵ G ^ Wo ϵ ist eine infinitesimale Zahl und G ^ ist hermitesch (Beweis: U ^ † = ( 1 − ich ϵ G ^ ) † = 1 + ich ϵ G ^ = ( ^ U ) − 1 ). Das Zeichen von ϵ ist die eigene Konvention. Eine endliche einheitliche Transformation wird durch Stapeln durchgeführt N kleine Transformationen. U ^ = ( 1 − ich ϵ G ^ ) N = e − ich N ϵ G ^ = e − ich τ G ^ wo der endliche Parameter ist τ = N ϵ . Ein Zustand transformiert sich nun (aktiv) als | ψ ' ⟩ = e − ich τ G ^ | ψ ⟩ und ein Operator transformiert (aktiv) als Ö ^ ' = e − ich τ G ^ Ö ^ e ich τ G ^ . In der Quantenmechanik entsprechen die unitären Operatoren kanonischen Transformationen in der klassischen Mechanik. Die hermiteschen Operatoren G ^ entsprechen den Generatoren kanonischer Transformationen in der klassischen Mechanik. In der klassischen Mechanik die Hamilton-Funktion H der Generator von Zeitübersetzungen ist, so ist die der Zeitübersetzung entsprechende unitäre Koordinatentransformation U ^ = e − ich T H ^ .

Warum ist der Hamiltonoperator in QFT der Generator der Zeitentwicklung?
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