Was meinen die Leute mit „Zustandsentwicklung mit der interaktiven/freien Theorie“?

Dies ist eine ziemlich grundlegende Frage, aber ich gestehe, dass ich bis zu diesem Punkt nicht darauf gekommen bin.

Bei der Definition der Moller-Operatoren und damit der S -Matrix betrachtet man normalerweise "Zustände Ψ Entwicklung mit der vollständigen Wechselwirkungstheorie" und "Zuständen Ψ 0 Entwicklung mit der freien Theorie". Darauf wird in dieser Antwort angespielt .

Das macht auch dieses Papier deutlich:

Typischerweise interessiert man sich für die Überlappung von Streuzuständen, dh wahre Eigenzustände des vollständigen Hamilton-Operators . Da diese normalerweise nicht verfügbar sind, greift man auf Deskriptorzustände und einen Operator in solchen Zuständen zurück - die S Matrix - die Streuung beschreibt und in eine Störungsreihe erweitert werden kann.

Aber hier fehlt mir sicher etwas. Ich meine, angesichts jeglicher Dynamik W ( T ) sei es auch U ( T ) oder U 0 ( T ) oder irgendeine andere, wir können damit jeden Zustand entwickeln.

Ich meine, wir können uns das ziemlich gut überlegen U 0 ( T ) Ψ oder U ( T ) Ψ 0 . Deshalb frage ich mich, was die Leute genau mit Zuständen meinen, die sich mit der Wechselwirkungs-/Freiheitstheorie entwickeln.

Die Vermutung aus dem Zitat des Papiers ist, dass sie "Eigenzustände des vollständigen Hamiltonian" und "Eigenzustände des freien Hamiltonian" bedeuten.

Aber dann ist etwas falsch in meinem Verständnis. Ich meine, wenn Ψ ist dann Eigenzustand des vollen Hamiltonoperators

H Ψ = E Ψ

und damit die Entwicklung U ( T ) Ψ ist trivial, es ist gerecht Ψ ( T ) = e − ich E T Ψ und die Überlappung mit jedem anderen Eigenzustand ist Null.

Was meinen die Leute also mit „Zustände, die sich mit der Interaktionstheorie entwickeln“ oder „Zustände, die sich mit der freien Theorie entwickeln“? Wenn es um die entsprechenden Eigenzustände geht, warum ist die Evolution dann nicht trivial, wie es scheint?

Liegt das daran, dass der vollständige Hamiltonoperator zeitabhängig ist? Aber dann ist zum Beispiel für Potentialstreuung mit einem Coulomb-Potential der Hamilton-Operator zeitunabhängig v ( R ) = G / | R | und es scheint, dass die Evolution wirklich trivial wäre.

Mir fehlt hier eindeutig etwas wirklich Grundlegendes . Was ist es? In Summe:

  1. Warum sprechen die Leute von „Zuständen, die sich mit freier/interagierender Theorie entwickeln“? Können wir nicht irgendeinen Zustand als Anfangsbedingung für irgendeine Evolution verwenden? W ( T ) sei es frei/interagierend?

  2. Wie werden diese Zustände charakterisiert? Sind sie Eigenzustände des freien/wechselwirkenden Hamiltonoperators? Wenn ja, warum ist ihre Entwicklung nicht trivial, wie in der Frage beschrieben?

Kannst du das etwas deutlicher machen?
@GKA naja ich denke besonders die Frage war schon klar. Um es noch deutlicher zu machen, habe ich am Ende die beiden Hauptzweifelpunkte in einfachen Sätzen hinzugefügt. Ich hoffe, es macht die Frage besser.

Antworten (1)

In der Streuungstheorie möchte man, wenn die Zeit groß ist, eine komplizierte wechselwirkende Evolution durch etwas Einfacheres, dh die freie Evolution, approximieren.

Die grundlegende physikalische Begründung lautet wie folgt. Wenn eine Wechselwirkung in geeigneter Weise räumlich lokalisiert ist und eine Konfiguration betrachtet wird, die "in die Unendlichkeit entweicht", dh sich im Laufe der Zeit sehr weit von der Region entfernt, in der die Wechselwirkung stattfindet, dann verhalten sich solche Konfigurationen asymptotisch wie eine freie Theorie aber mit einem anfänglichen Datum, das sich im Allgemeinen von dem ursprünglichen unterscheidet .

Mathematisch gesehen, lassen Sie U ( T ) sei die interagierende Evolution, und U 0 ( T ) der freie. Ziel ist es zu beweisen, dass für alle (oder fast alle) ψ , es existiert ψ ± (der asymptotische Zustand) so dass

lim T → ± ∞ “ U ( T ) ψ − U 0 ( T ) ψ ± “ = 0 .
Wenn das stimmt, dann ist das beschriebene komplizierte System durch U ( T ) ψ kann in sehr guter Näherung, wenn man genügend Zeit in der Zukunft oder Vergangenheit abwartet, durch die einfachere Evolution beschrieben werden U 0 ( T ) ψ ± . In diesem Fall sagen wir, dass der Staat ψ Streuungen mit entsprechenden asymptotischen Zuständen ψ ± .

Da beide U 0 ( T ) Und U ( T ) Einheitsoperatoren sind, ist das Obige äquivalent zu dieser Aussage

lim T → ± ∞ “ U 0 ( T ) ∗ U ( T ) ψ − ψ ± “ = 0 .
Mit anderen Worten, dies läuft darauf hinaus, die Grenze von in der starken Topologie zu untersuchen U 0 ( T ) ∗ U ( T ) (und umgekehrt auch von U ( T ) ∗ U 0 ( T ) ).

Es gibt jedoch Staaten, bei denen man sofort sieht, dass eine solche Konvergenz unmöglich ist. Lassen ψ λ ein Eigenvektor von sein U ( T ) : U ( T ) ψ λ = e − ich T λ ψ λ . Dann U 0 ( T ) ∗ U ( T ) ψ λ = e ich T ( H 0 − λ ) ψ λ , und ein solcher Vektor hat eine starke Grenze wie T → ± ∞ dann und nur dann, wenn ψ λ ist auch ein Eigenvektor von H 0 mit Eigenwert λ . Es ist jedoch physikalisch nicht plausibel, dass die interagierenden und freien Theorien, die verglichen werden, gemeinsame Eigenwerte und Eigenvektoren teilen, und daher sollte man solche Eigenvektoren loswerden U ( T ) , um die starke Konvergenz von zu beweisen U 0 ( T ) ∗ U ( T ) (da diese Zustände eindeutig nicht streuen). Dies geschieht in der Regel aus dem reinen Punktspektrum heraus projizierend U ( T ) . Physikalisch bedeutet dies auch, dass bei Hamiltonoperatoren mit reinem Punktspektrum keine Zustandsstreuungen auftreten, da die Zustände in diesem Fall nicht aus dem Wechselwirkungsbereich austreten können (Hamiltonoperatoren mit reinem Punktspektrum beschreiben eingeschlossene Systeme). Die Umkehrung gilt auch für U ∗ ( T ) U 0 ( T ) , aber in der Regel die freie Referenz Dynamik U 0 ( T ) so gewählt, dass es ein rein kontinuierliches Spektrum hat (z. B. den freien Teilchen-Hamiltonoperator), und daher nicht aus dem reinen Punktspektrum projiziert werden muss, da dieses leer ist.

Danke für die Antwort @yuggib. Also nehmen wir einen Eigenzustand Ψ 0 des freien Hamiltonoperators. Ein solcher Zustand beschreibt per Definition das wechselwirkungsfreie System. Wir definieren dann die Zustände, die sich mit der Wechselwirkungsdynamik entwickeln, genau als diejenigen, für die es freie Zustände gibt, so dass die Grenzidentität gilt. Mit anderen Worten, wir definieren solche Zustände als die der Form Ω − Ψ 0 Einwirken auf Eigenzustände des freien Hamiltonoperators?
@ user1620696 Nun, eigentlich ganz im Gegenteil. Die Eigenzustände (von beiden H 0 oder H ) sind genau Zustände, für die wir a priori wissen , dass sie nicht streuen werden (dh für die die streuende Approximation versagt). Die Streutheorie wird genau außerhalb des reinen Punktspektrums beider durchgeführt H 0 Und H . In der Regel jedoch H 0 hat keine Eigenwerte und Eigenvektoren, und daher sollte man darauf achten, nur die Eigenwerte des wechselwirkenden Hamiltonoperators auszuschließen H .
Die Streuungstheorie ist eine Näherungstheorie: Ziel ist es, eine gegebene (normalerweise komplizierte) Evolution durch eine einfachere anzunähern. Diese Annäherung ist nur asymptotisch in der Zeit gültig und „ändert den Anfangszustand“ (in dem Sinne, dass die wechselwirkende Entwicklung eines Zustands durch die freie Entwicklung eines anderen Zustands angenähert wird). Außerdem gilt die Annäherung nur für Zustände, die für lange Zeit "entkommen". Und Eigenvektoren entkommen nie.
Entschuldigung, ich habe eine ungenaue Terminologie verwendet, durch den Eigenzustand des freien Hamilton-Operators hatte ich das Unpassende im Sinn | P ⟩ , aber ich hätte diese Terminologie nicht verwenden sollen, da dies kein echter Eigenzustand ist (es ist nicht einmal ein Element des Hilbert-Raums). Ihr Punkt ist also: Die Eigenzustände (wahre, die dem Punktspektrum entsprechen), beschreiben gebundene Zustände und streuen nicht - die Grenze kann nicht gelten, da sie zu asymptotischen Zeiten nicht frei aussehen können, da sie gebunden sind. Daher sind sie für die Verwendung mit der Streuungsnäherung ungeeignet. Ist das Ihr Punkt in Bezug auf die Eigenzustände?
@ user1620696 ja, das ist genau mein Punkt zu Eigenzuständen.
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