Kann man einen Hamilton-Operator in Abwesenheit eines Lagrange-Operators aufschreiben?

Wie kann ich den Hamilton-Operator unabhängig vom Lagrange-Operator definieren? Nehmen wir zum Beispiel an, ich habe eine Reihe von Feldgleichungen, die nicht in eine Aktion integriert werden können. Gibt es eine Vorschrift, den Hamiltonoperator eines solchen Systems ausgehend von den Feldgleichungen zu konstruieren?

Es kommt darauf an, was man unter Hamilton versteht. Wenn Sie meinen, "gibt es ein System, dessen Dynamik als Hamilton-Gleichungen umformuliert werden kann, für das es jedoch keinen Lagrangian gibt, der die Dynamik reproduziert und sich in den richtigen Hamiltonian umwandelt?", sollten Sie dies in der Frage ausdrücken. (Wenn nicht, verwenden Sie eine ähnlich genaue Aussage.) Dieser Fall wird von linearen Hamiltonianern wie z. B. verneint H = p .
ok, lassen Sie mich das einfachste Beispiel geben, das mir einfällt. Bedenken Sie, dass ich die folgende Feldgleichung für einen symmetrischen Rang-2-Tensor habe h μ v : η ρ σ ∂ μ ∂ v h ρ σ + η μ v ∂ ρ ∂ σ h ρ σ . Offensichtlich kann eine solche Feldgleichung herkommen L = η ρ σ ∂ μ h μ v ∂ v h ρ σ . Aber wenn ich die relativen Koeffizienten zwischen zwei Termen in der Feldgleichung verändere, dann findet man für eine solche Feldgleichung keine Lagrange-Funktion mehr.
Ich denke, wonach Sie fragen, fällt unter die allgemeine Überschrift „Inverses Problem für die Lagrange-/Hamilton-Mechanik“. Es gibt einen Satz von Douglas (1941), der eine Reihe notwendiger und hinreichender Bedingungen angibt, unter denen für jede gegebene ODE eine Lagrange-Funktion existiert. Daraus können Sie dann sicher die Bedingungen für die Existenz eines Hamiltonoperators ableiten. Das Problem ist für allgemeine PDE-Systeme viel schwieriger – aber ich denke, dass dies immer noch ein recht aktives Forschungsgebiet ist.
@JohnDoe Dein Beispiel ist prinzipiell interessant, aber ist die Feldsprache tatsächlich notwendig? Das Problem sind sicherlich die Grundlagen der Mechanik, und es sollte mindestens eine diskretisierte Version - hoffentlich eine Single-Dof-Version - mit demselben Kernproblem geben. Außerdem haben Sie "Gleichung" erwähnt, aber Sie haben keine Gleichheitszeichen angezeigt.

Antworten (2)

Kommentare zur Frage (v2):

  1. Lassen Sie uns zunächst betonen, dass OP richtig ist, dass ein gegebener Satz von Bewegungsgleichungen nicht unbedingt ein Variations-/Wirkungsprinzip haben muss, vgl. zB dieser Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Links.

  2. Einerseits, wenn es eine Lagrange- Formulierung gibt, dann kann man im Prinzip eine Hamilton -Formulierung über eine (mögliche singuläre) Legendre-Transformation erhalten . Traditionell erfolgt dies über das Rezept/Kochbuch von Dirac-Bergmann, siehe z. 1-2.

  3. Wenn wir andererseits eine (möglicherweise eingeschränkte) Hamilton-Formulierung des Typs haben, der in Lit. 1 und 2, dann ist es möglich, eine Hamilton-Aktionsformulierung zu geben, die an sich als Lagrange-Formulierung interpretiert werden kann, z. B. nach Integration aus Impulsvariablen entlang der in meiner Phys.SE-Antwort hier angegebenen Linien .

  4. Mit anderen Worten, Lagrange- und Hamilton-Formulierungen gehen traditionell Hand in Hand. Daher ist unklar, wonach genau OP sucht.

Verweise:

  1. PAM Dirac, Vorlesungen über QM, (1964).

  2. M. Henneaux und C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994.

(-1) Jeder Satz von Gleichungen kann in eine Lagrange-Einstellung gebracht werden, indem zusätzliche nicht beobachtbare Freiheitsgrade hinzugefügt werden. Zum F ( x ) = 0 neue Variablen hinzufügen j und nehme L = ⟨ j | F ( x ) | ⟩ . Variation von j gibt F ( x ) = 0 , und Variation von x gibt F ' ( x ) T j = 0 was in vielen Fällen äquivalent ist j = 0 - was es unbeobachtbar macht, da es sich nie ändert.

Die Feldgleichungen müssen in einem ziemlich genauen Sinne konservativ sein, damit dies in einem physikalisch sinnvollen Sinne geschehen kann.

Dann gibt es mehrere hamiltonsche Ansätze zur Feldtheorie: den De-Donder-Weyl- Formalismus und den multisymplektischen Formalismus. Obwohl beide Formalismen Lagrangeoperatoren aufnehmen können, können sie auch ohne Lagrangeoperatoren in einer rein hamiltonschen Form verstanden werden. Beide Formalismen können vollständig kovariant gemacht werden.

Dies gilt für klassische Felder. Wie man eine Theorie in einem dieser Formalismen quantisiert, ist sehr schlecht verstanden.

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