Vollständiges vs. Allgemeines Integral der PDE erster Ordnung

In der allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen und speziell für partielle Differentialgleichungen erster Ordnung definiert man die allgemeine Lösung (Landaus allgemeines Integral) und das vollständige Integral wie folgt:

Für eine zweidimensionale partielle Differentialgleichung erster Ordnung

$$f(x,y,z,z_x,z_y)=0. \tag{1}$$ Vollständiges Integral : Eine zweiparametrige Familie von impliziten Lösungen der Form (2) von (1) wird vollständiges Integral der partiellen Differentialgleichung genannt. $$\phi(x,y,z,a,b)=0. \tag{2}$$ Allgemeine Lösung: Eine Funktion der Form (3), wobei $u(x,y,z)$Und $v(x,y,z)$sind Funktionen von $x,y,z$Und $\Phi$ist eine beliebige glatte Funktion, $\Phi$heißt eine (implizite oder explizite) allgemeine Lösung von (1), wenn $z,z_x,z_y$bestimmt durch die Beziehung (3) erfüllen (1) $$\Phi(u,v)=0\tag{3}.$$

*Wenn wir ein vollständiges Integral (2) von (1) haben, können wir eine allgemeine Lösung (3) ableiten, wir würden dies später im Beitrag zeigen, aber zuerst wollen wir sehen, wie man die PDE (1) aus dem vollständigen Integral ableitet (2).

Wenn wir ein vollständiges Integral (2) haben, können wir erhalten$d\phi/dx$Und$d\phi/dy$:

$$\phi_x+z_x\phi_z=0. \tag{4}$$ $$\phi_y+z_y\phi_z=0. \tag{5}$$

Mit (2),(4),(5) erhalten wir einen parameterfreien Ausdruck der Form (1).$a$Und$b$. Wenn (1) genau aus (2), (4), (5) erhalten wird, dann$\phi$ist eine Lösung der PDE (1).

Um nun eine allgemeine Lösung (3) aus einem vollständigen Integral (2) abzuleiten, können wir auferlegen$b=W(a)$in der vollständigen Lösung (2), erhalten$\Phi(x,y,z,a,W(a))$, und stellen Sie die Bedingung auf$d\Phi/da=0$,

$$\frac{d\Phi}{da}=\Phi_a(x,y,z,a,W(a))+W'(a)\Phi_W(x,y,z,a,W(a))=0. \tag{6}$$

Mit (6) können wir schreiben$a=A(x,y,z)$als Funktion von$x,y,z$. Die aus (2) abgeleitete allgemeine Lösung kann also geschrieben werden als

$$\Phi\Big(x,y,z,A(x,y,z),W(A(x,y,z))\Big) = 0. \tag{7}$$

Wir können sehen, dass (7) tatsächlich mit unserer Definition der allgemeinen Lösung übereinstimmt. Jetzt werden wir erneut beweisen, dass (7) eine Lösung von (1) ist$d\Phi/dx$Und$d\Phi/dy$

$$\Phi_x+z_x\Phi_z+ \Phi_A A_x+\Phi_W W'(A) A_x =0. \tag{8}$$ $$\Phi_y+z_y\Phi_z+ \Phi_A A_y+\Phi_W W'(A) A_y =0. \tag{9}$$

Wenden wir nun die Bedingung (6) an, ergeben die Gleichungen (8) und (9):

$$\Phi_x+z_x\Phi_z =0. \tag{8}$$ $$\Phi_y+z_y\Phi_z =0. \tag{9}$$

Nun liefern die Gleichungssysteme (2), (4), (5) denselben abgeleiteten Ausdruck (1) wie (7), (8), (9).$\Phi\Big(x,y,z,A(x,y,z),W(A(x,y,z))\Big)$ist eine allgemeine Lösung von (1) und wir können sehen, dass wir für jede Funktion eine andere Lösung erhalten$W$.

Wir können sehen, dass diese Lösung frei von Parametern ist$a$Und$b$, wenn wir eine bestimmte Funktion auswählen$W$wir erhalten eine bestimmte Lösung für die PDE.

Landaus verallgemeinert dieses Ergebnis in seiner Fußnote, jedoch tut er dies für eine einfachere Gleichung, nicht für eine allgemeine PDE erster Ordnung (1). Die Schritte, die er durchführt, sind die gleichen, wie wir sie für eine allgemeine zweidimensionale PDE erster Ordnung gemacht haben.

Im Russischen ist „Integral“ ein Synonym für die Lösung einer Differentialgleichung. "allgemeines Integral" bedeutet allgemeine Lösung, "vollständig" bedeutet wahrscheinlich Summe aus besonderer Lösung und allgemeiner Lösung (genannt Komplementärlösung)

iPDEs

Der Begriff "vollständiges Integral" bezieht sich hier auf Lösungen bestimmter PDEs (1. Ordnung), die von der maximalen Anzahl von Bewegungskonstanten abhängen. Wenn Sie ein konkretes Beispiel wünschen, kann ich Sie auf Gleichung (10) dieses Artikels verweisen , oder noch besser auf Lit. [10] in diesem Papier.

Eine "allgemeine Lösung" muss dagegen nicht explizit von Bewegungskonstanten abhängen, sondern enthält normalerweise eine freie (Integrations-)Funktion. Als Beispiel für eine Lösung, die nicht explizit von Bewegungskonstanten abhängt, siehe die „einhüllende Lösung“ in Gl. (11) des obigen Papiers.

[Ich bin diesen Begriffen nirgendwo begegnet, außer beim Lösen von Hamilton-Jacobi-Gleichungen - dies scheint auch der Kontext zu sein, auf den sich Landau bezieht.]