Aktionswinkelvariablen finden

In lokalen Koordinaten die kanonische Transformation in Aktionswinkelkoordinaten$(q,p)\rightarrow (Q,P)$kann zusammenhängen durch,

$$\begin{equation} \boxed{P_i=\frac{1}{2\pi}\oint p_idq^i \ \ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ \ Q^i=\frac{\partial }{\partial P_i}\int p_idq^i} \end{equation}$$ Zum Beispiel:

Betrachten Sie den eindimensionalen harmonischen Oszillator mit dem folgenden Hamiltonoperator$H=\frac 1{2m}\big[p^2+m^2\omega ^2q^2\big]$. Ordnen Sie dies neu an$p$und nehmen Sie die Hyperfläche$H=E$.

$$\begin{equation} p=\pm \sqrt{2mE-m^2\omega ^2q^2} \end{equation}$$ Verwenden Sie dann die obige Gleichung zur Berechnung $P$. $$\begin{equation} P=\frac{1}{2\pi }\oint \sqrt{2mE-m^2\omega ^2q^2}dq \end{equation}$$ Das Integral ist nun beendet $0$Zu $2\pi$was einfacher zu handhaben ist. Dies funktioniert so, $$\begin{equation} \frac {1}{2\pi}\oint ^{2\pi}_{0}\cos^2Q\ dQ\cdot \frac {2E}{\omega} =\frac{E}{\omega} \end{equation}$$ Daher haben wir die angegebene Formel verwendet, um die Aktionsvariable für den harmonischen Oszillator zu berechnen.