Lösen von Hamilton-Jacobi durch kanonische Transformationen

Gegeben sei eine Lösung einer Hamilton-Jacobi-Gleichung in$(X, P)$Variablen und eine kanonische Transformation aus$(x, p)$Zu$(X, P)$, wie schreibt man die Lösung der Hamilton-Jacobi in Bezug auf die Variablen auf$(x,p)$?

Ich weiß, dass dies eine klassische Frage mit einer bekannten Antwort ist. Trotz mehrfacher Versuche konnte ich die Berechnung nicht abschließen. Ich hoffe, dass ein Experte einen rechnerisch nachvollziehbaren Weg finden kann, eine Lösung aufzuschreiben.

Gegeben ist der Hamiltonian$H : \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$,

$$H(x,p) = x(e^{-p} - 1) + e^p - 1,$$ und die Typ-2-Erzeugungsfunktion $$F_2(x, P) = x \log(P+1) - P,$$ Wir finden die folgende Transformation kanonisch: $$\begin{align*} x(X, P) &= (X+1)(P+1) \\ p(X, P) &= \log(P+1). \end{align*}$$ Einwechseln $H$, erhalten wir den "Kamiltonian" $K(X, P) = - XP$. Eine Lösung $V(t, X)$zur Hamilton-Jacobi-Gleichung $$\frac{\partial V}{\partial t} + K\left(X, \frac{\partial V}{\partial X}\right) = 0$$ wird von gegeben $$V(t, X) = X^2 e^{2t}.$$ Wie können wir dies verwenden, um eine Lösung aufzuschreiben $S(t, x)$zur ursprünglichen Hamilton-Jacobi-Gleichung, $$\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(x, \frac{\partial S}{\partial x}\right) = 0?$$ Wenn es einige Ausdrücke gibt, die schwer zu invertieren sind, was ist eine explizite Beziehung zwischen $S$Und $V$?

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Bearbeiten Sie, folgen Sie den Hinweisen von secavara.

Mit$V(t, X) = \alpha X e^t$, schreiben wir zuerst um$(x, p)$In$x(\beta, \alpha, t)$Und$p(\beta, \alpha, t)$. Wir finden

$$\begin{align*} x &= (\beta e^{-t} + 1)(\alpha e^t + 1) \\ p &= \log(\alpha e^t + 1). \end{align*}$$ Erfüllen $\partial_x S = p$, könnten wir versuchen $$S(x, \alpha, t) = x \log(\alpha e^t + 1) + g(\alpha, t).$$ für eine beliebige Funktion $g(\alpha, t)$. Das können wir mit verifizieren $g(\alpha, t) = -\alpha$, wir erfüllen $\partial_\alpha S = \beta = X e^t$.

An diesem Punkt versuchte ich, die letzte Beziehung zum Laufen zu bringen,$\partial_t S = -H$, hat es aber nicht geschafft (obwohl ich mich zugegebenermaßen nicht sehr angestrengt habe). Stattdessen habe ich folgende Lösung angegriffen:

$$S(t, x) = x \log x - x + a(t) x + b(t).$$ Beim Einstecken in die HJE finden wir die folgenden Beziehungen: $$\begin{align*} \dot{a}(t) &= -(e^{a(t)} - 1) \\ \dot{b}(t) &= -(e^{-a(t)} - 1). \end{align*}$$ Eine Lösung für die HJE liegt also vor $$S(t, x) = x\log x - x - x\log(e^{-t+c_1} + 1) + e^{-t+c_1} + c_2$$ für Konstanten $c_1, c_2$. Die Konstante $c_1$spielt die Rolle von $\alpha$. Tut $c_2$die Rolle spielen $\beta$?

Mein Problem mit dieser Lösung ist, dass ich anscheinend eine Randbedingung wie z$S(0, x) = 0$Wenn$x = y$Und$S(0, x) = +\infty$Wenn$x \neq y$für einige fest$y \in \mathbb{R}_+$. Dies könnte möglich sein, wenn wir einen Begriff wie hätten$-(x-y)\log(1-e^{-t}).$Eine solche Randbedingung kann man etwa im einfachen Fall eines freien Teilchens erfüllen$H'(p) = p^2/2$. Dann$S(t, x) = (x-y)^2/2t$erfüllt dieselbe HJE (mit Hamiltonian$H'$) Und$S(0, x) = \infty\cdot 1\{x \neq y\}$. Sehen Sie eine Möglichkeit, dies für unsere zu bekommen?$H$?

Schließlich scheint es mir, dass die$\alpha, \beta$Konstanten beziehen sich auf die folgende kanonische Transformation aus$(X, P)$Zu$(E, Q)$Variablen:

$$\begin{align*} X = \sqrt{E} e^{-Q} \\ P = \sqrt{E} e^{Q}. \end{align*}$$ Dann $K(X(E, Q), P(E, Q)) = -E$, und wir haben "Wirkungswinkel"-Koordinaten. Ich zögere, sie Aktionswinkel zu nennen, weil der Phasenraum nicht kompakt ist, also gibt es keine zyklische Variable. Dieses System kann als rotierender harmonischer Oszillator betrachtet werden $p \rightarrow i p$, dh, $H''(x, p) = x^2 - p^2$. Ich bin mir nicht sicher, wie ich es interpretieren soll.