Arithmetik des Hamilton-Operators in kanonischer Transformation

Der Hamiltonoperator transformiert sich nach folgender Regel:

$H^\prime = H - \partial_t f$, Wo$f=f(q,t)$(1).

Wir können diese Funktion finden, indem wir Folgendes verwenden:

$p = p^\prime-\partial_qf=p^\prime-m \dot{X}$.

Das sehen wir also$f=m \dot{X}q +c , c \in \mathcal{R}.$(2).

Gleichung (2) in Gleichung (1) einsetzen ergibt:

$H^\prime=H-\partial_t(m\dot{X}q+c)=H-m\partial_t(q\dot{X})$, wenn ich mir jetzt die endgültige Form der Gleichung anschaue, die Sie zeigen müssen, schätze ich das$\dot{q}=0$so dass$H^\prime=H-mq\ddot{X}$. Wo$H=(p^\prime)^2/2m+V(q-X(t))-m\dot{X}^2/2$ist der Hamilton-Operator, den Sie bereits abgeleitet haben.

Warnung : Ich bin mir nicht sicher, was genau$q$ist in Ihrem Fall und ob$\dot{q}=0$hält. Das sollten Sie selbst überprüfen, da ich den Kontext nicht kenne und so weiter. Aber das funktioniert völlig problemlos.

Hinweis: Probieren Sie eine Generierungsfunktion vom Typ 2 aus

$$F_2(q,P,t)~=~\left(P-m\dot{X}(t)\right)q,$$ für ein CT $$(q,p,t)~\to~ (Q,P,t),$$ so dass $$K-H ~=~\frac{\partial F_2}{\partial t}~=~\color{red}{-m\ddot{X}(t)q}, \qquad Q~=~\frac{\partial F_2}{\partial P}~=~q, \qquad p~=~\frac{\partial F_2}{\partial q}~=~P-m\dot{X}(t).$$