Lösung einfacher Probleme nur mit Maxwell-Gleichungen in Differentialform

Lösen Sie einfache elektrostatische oder magnetostatische Probleme nur mit Maxwell-Gleichungen. Zum Beispiel:

In jedem Buch gibt es eine Übung, um ein Magnetfeld außerhalb eines dünnen Drahtes mit Radius zu finden A mit Strom ICH . Der übliche Ansatz ist das Biot-Savart-Gesetz oder das Ampere-Gesetz. Ich weiß, dass Sie das Biot-Savart-Gesetz aus Maxwell-Gleichungen ableiten oder die integrale Form des Ampere-Gesetzes verwenden können, um dies einfach zu lösen, aber ich interessiere mich für eine Lösung mit Vektorpotential A und eine Poisson-Gleichung. Lösen Sie dann die Gleichung durch Trennung der Variablen. Was wären die Randbedingungen?

BEARBEITEN:

Betrachten Sie es so: Sie wissen, dass Sie diese beiden magnetostatischen Gleichungen notieren:

∇ ⋅ B = 0 Und ∇ × H = J

und Sie jetzt über Coulomb-Messgerät ∇ ⋅ A = 0 Und B = ∇ × A und das H Und B sind einfach verwandt durch B = μ H

Welche Differentialgleichung ergibt sich daraus und welche Randbedingungen würden Sie für dieses spezielle Problem verwenden?

Antworten (2)

Dies ist nicht wirklich ein "Randbedingungsproblem" in dem Sinne, dass wir nicht versuchen, Kenntnis davon zu erlangen A → auf einer Oberfläche und erweitere sie zu einer Lösung der Laplaces-Gleichung in einem Bereich, der die Oberfläche als Grenze hat. Der Grund, warum Sie dies nicht tun können, ist, dass Sie a priori keinen Grund haben, zu wissen, wie A → sollte nach einem Gegebenen suchen J → .

Vielmehr versuchen Sie, Informationen über die Quellen zu drehen, J → , in Informationen über das Feld, A → . Dies erfordert eine tatsächliche Invertierung der ∇ 2 -Operator, der die Verwendung von Green-Funktionen beinhaltet. Sie könnten zum Beispiel die Formel verwenden,

A X ( X → ) = μ 4 π ∫ J X ( X → ' ) D 3 X → ' | X → − X → ' | .

@RobJeffries, danke für den Hinweis. Es ist schon eine Weile her, seit ich in SI-Einheiten gearbeitet habe.
Ich verstehe, ich habe tatsächlich die letzte Gleichung von Post unten gelöst und das richtige B-Feld erhalten, aber nur, weil ich wusste, wie sich A verhalten sollte, dh ich habe die Symmetrien von z und phi coord. verwendet, was seltsam ist, weil ich es nicht sollte. Ich weiß nicht, wie A aussieht, wie Sie darauf hingewiesen haben. Ich verstehe immer noch nicht die ganze Idee hinter diesen grünen Funktionen, aber mir ist jetzt klar, dass ich Poisson-Gleichung verwenden kann. Dinge NUR zu lösen, wenn ich einige Informationen über A oder B kenne, dh die Randbedingungen. Das ist alles frustrierend, weil ich mich entscheiden muss, welche Methode ich verwenden soll, zum Beispiel die 5.13-Übung. in Jackson verwenden einige Poisson-Gleichungen. und einige verwenden dieses Integral

▽ × B = μ J
Und
B = ▽ × A
So
▽ × ▽ × A = μ J

Aus der Definition des Vektors Laplace haben wir

▽ × ▽ × A = ▽ 2 A − ▽ ( ▽ ⋅ A )

Das Coulomb-Messgerät lässt den zweiten Term auf der rechten Seite verschwinden, also bleibt uns übrig

▽ 2 A = − μ J
das ist nur die Poisson-Gleichung in Vektorform. Um das Vektorpotential mit dem Radius des Drahts und dem durch ihn fließenden Strom in Beziehung zu setzen, können Sie die Stromdichte über einen Querschnitt des Drahts integrieren.

Lösung einfacher Probleme nur mit Maxwell-Gleichungen in Differentialform
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