Annahmen bei der Berechnung von B⃗ B→\vec{B} nach dem Ampère’schen (Kreis-)Gesetz

Wie in den Kommentaren angegeben, hängt die Antwort vom Biot-Savart-Gesetz ab. Tatsächlich werden jedoch nicht alle Informationen aus dem Biot-Savart-Gesetz benötigt. Die einzigen zwei Tatsachen, die aus dem Biot-Savart-Gesetz benötigt werden, sind: 1)$\vec{B}$ein Pseudovektor ist und 2)$\vec{B}$ist im Strom linear$I$. Vor allem, wenn ich multipliziere$I$von$-1$Dann$\vec{B}$wird auch multipliziert mit$-1$. Jedes Vektorfeld, das diese Annahmen erfüllt, müsste in dieser Geometrie rein azimutal sein.

Sie verstehen bereits, warum das Feld nur von abhängen muss$\rho$und nicht an$\phi$oder$z$, aber lassen Sie uns sehen, warum die beiden obigen Eigenschaften implizieren, dass es keine Komponente in haben kann$\hat{z}$oder$\hat{\rho}$Richtungen.

Wir werden einen beliebigen Punkt auswählen$p$, und wählen Sie Koordinate so$p$liegt auf der$x$-Achse. Dann betrachten wir drei Transformationen, die jeweils das Vorzeichen umkehren$I$beim verlassen$p$unveränderlich. Wenn ich das Magnetfeld als schreibe$(B_\rho, B_\phi, B_z)$, dann besteht der Effekt jeder dieser Symmetrietransformationen darin, entweder eine Komponente in Ruhe zu lassen oder mit zu multiplizieren$-1$. Daher werde ich den Effekt der Transformation durch ein Tripel von Plus- oder Minuszeichen darstellen.

Die erste Transformation, die wir betrachten, ist die Drehung um die$x$Achse. Es ist ersichtlich, dass diese Transformation die umkehrt$\phi$Und$z$Komponente, verlässt aber die$\rho$Komponente. So ist seine Wirkung$(+,-,-)$.

Die nächste Transformation, die wir betrachten werden, ist einfach invertieren$I$. Der Effekt dieser Transformation ist eine Invertierung$\vec{B}$, seit$\vec{B}$ist linear ein$I$. So ist seine Wirkung$(-,-,-)$.

Der dritte Effekt, den wir betrachten werden, ist die Reflexion durch die$x$-$y$Ebene. Ich werde dies als eine Zusammensetzung der Paritätsinversion mit a betrachten$\pi$Drehung um die$z$-Achse. Das kennen wir von der Paritätsinversion$\vec{B}$bleibt unveränderlich, weil$\vec{B}$ist ein Pseudovektor. Aber wenn wir invariant sagen, meinen wir das$\vec{B}(p)$vor der Transformation ist die gleiche wie$\vec{B}(-p)$nach der Verwandlung. Aber$\hat{\rho}(p) = -\hat{\rho}(-p)$,$\hat{\phi}(p) = -\hat{\phi}(-p)$, Und$\hat{z}(p) = \hat{z}(-p)$. Also für$\vec{B}$um gleich zu sein, muss die Wirkung der Transformation sein$(-,-,+)$. Dazu komponieren wir dann a$\pi$Drehung um die$z$Achse, aber die Koordinaten ändern sich nicht.

Wir haben also festgestellt, dass unsere drei äquivalenten Transformationen unterschiedliche Auswirkungen haben. Sie sind$(+,-,-)$,$(-,-,-)$, Und$(-,-,+)$. Betrachten wir die erste Komponente. Das sagt uns die erste Transformationsregel$B_\rho$nach der Transformation ist die gleiche wie$B_\rho$vor der Verwandlung. Das sagt uns jedoch das zweite Gesetz$B_\rho$nach der Transformation ist das Gegenteil wie$B_\rho$vor der Verwandlung. Dies ist nur möglich, wenn$B_\rho = 0$nach der Verwandlung. Dann$B_\rho = 0$auch vor der Verwandlung. So$B_\rho$muss auf jeden Fall null sein. Ähnliche Logik zeigt$B_z$muss Null sein. Das haben wir aber nicht gezeigt$B_\phi$muss Null sein, weil wir immer wieder gesehen haben, dass es mit multipliziert wird$-1$.