Wie Jobe betonte, wird Ihre Frage hier ausführlich behandelt . Du solltest es lesen. Ich denke jedoch, dass ich mit einer qualitativeren Diskussion und einem Beispiel ergänzen kann. Änderung : Dies könnte eine Community-Kritik gebrauchen, daher würde ich es noch nicht als perfekt präsentiert betrachten.

Antworten:

Erlauben Sie mir, zuerst meine Antworten zu geben, dann die Erklärung:

1. Sie können das Faradaysche Gesetz in seiner differentiellen Form auch für zeitabhängige Grenzen auf einen festen Punkt im Raum anwenden. Sie gilt immer für einen festen Punkt im Raum.
2. Wenn Sie die Differentialform wirklich auf einen bewegten Punkt anwenden möchten, ist es am einfachsten, die E- und B-Felder in einen bewegten Rahmen zu transformieren .

Erläuterung:

Die Frage war, wie man den allgemeinen Fall des Faradayschen Gesetzes richtig behandelt:

$$\begin{align} \oint_C\vec E \cdot d\vec l & = - {d \over d t} \iint_S \vec B \cdot d \vec A \\ \iint_S (\vec \nabla \times \vec E)\cdot d\vec A & = - {d \over d t} \iint_S \vec B \cdot d \vec A \\ \end{align}$$
Wo $S$ist eine glatte Fläche mit einer Grenzkurve $C(t)$die eine explizite Zeitabhängigkeit haben können. Nur wenn $C$hängt nicht davon ab $t$können Sie die Gesamtableitung in das Doppelintegral bringen, sie zu einer partiellen Ableitung herabstufen und dann das Integral abziehen: $$\begin{align} \iint_S (\vec \nabla \times \vec E)\cdot d\vec A & = - \iint_S {\partial \vec B \over \partial t} \cdot d \vec A \\ \vec \nabla \times \vec E &= - {\partial \vec B \over \partial t } \\ \end{align}$$
Woher wissen wir , dass es sicher ist, das Integral abzulösen? Das ist gleichbedeutend mit deklarieren $\vec \nabla \times \vec E$muss gleich sein $- {\partial \vec B \over \partial t}$an jedem Punkt $P$An $S$. Um zu verstehen, warum dies wahr sein muss, stellen Sie sich vor, Sie schrumpfen die Oberfläche $S$unten um den Punkt $P$. Irgendwann die Glätte von $\vec E$Und $\partial \vec B/\partial t$muss eingreifen und diese über dem Integral konstant machen, wodurch seine Notwendigkeit beseitigt wird: Und das bringt mich zu meinem ersten Punkt, den ich machen möchte:

$\oint_C\vec E \cdot d\vec l = - {\partial \over \partial t} \iint_S \vec B \cdot d \vec A$ist über einer Oberfläche , während$\vec \nabla \times \vec E = - {\partial \vec B \over \partial t }$ist an einem Punkt .

Lassen Sie mich nun zeigen, wie das Faradaysche Gesetz in Differentialform auf Schleifen mit sich ändernder Fläche mit dem klassischen Beispiel eines Gleitbalkens angewendet wird: Die Antwort ist natürlich diese Spannung
$\mathcal{E} = BLv$erzeugt einen Strom im Uhrzeigersinn um die Schleife, eine Antwort, die sich leicht aus der integralen Form des Faradayschen Gesetzes ergibt. Aber was sagt uns die Differentialform? Betrachten Sie einen Fixpunkt$P$im Raum kurz davor, vom Gleitstab überholt zu werden: Da der Stab ein (perfekter) beweglicher Leiter ist, unterdrückt er das Magnetfeld in seinem Inneren (perfekt). Das ist wie
$P$Zeuge eines sich ändernden Magnetfelds, selbst wenn$P$ist stationär. Schreiben wir die Differentialform mit aus$\vec B = +B \hat z$:

$$\begin{align} (\vec \nabla \times \vec E)_z &= -{\partial B_z \over \partial t}\\ {dE_y \over dx} - {dE_x \over dy} &= -{\partial B \over \partial t} \\ {\Delta E_y \over \Delta x} &\approx -{ \Delta B \over \Delta t} \\ E_y &\approx {\Delta x \over \Delta t} B \\ E_y &\approx v B \\ \mathcal{E} &\approx v B L \\ \end{align}$$
Dies ist das gleiche Ergebnis wie beim Faradayschen Gesetz in integraler Form. Die Annäherung kann mit etwas mehr Strenge genau gemacht werden, aber sie vermittelt den Punkt, wie man einen stationären Punkt hat $P$ist grundsätzlich keine Einschränkung.

Was ist, wenn Sie wirklich wollen$P$bewegen:

Sicher,$P$kann bewegen. Eine Methode besteht darin, die Leibniz-Integralregel für zwei Dimensionen anzuwenden , die Sie durch die Differenzierung von Integralgrenzen führt:

$${d \over dt} \iint_{S(t)} \vec F(\vec r, t) \cdot d\vec A = \iint_{S(t)} ({\partial \vec F(\vec r,t) \over \partial t} + [\vec \nabla \cdot \vec F(\vec r,t)\vec v ])\cdot d\vec A - \oint_{C(t)} [\vec v \times \vec F(\vec r,t)] \cdot d \vec l$$
Wo $\vec v$ist die Geschwindigkeit an jedem Punkt an $C(t)$Und $\vec F$ist Ihr Vektorfeld. Ich werde das Ergebnis der Anwendung auf das Faradaysche Gesetz zitieren, da dies in der zuvor verlinkten Antwort fachmännisch durchgeführt wurde: $$\vec \nabla \times (\vec E + \vec v \times \vec B) = -{\partial \vec B \over \partial t}$$
Das ist richtig, aber ich finde es irreführend. Die zweite Methode, die ich zeigen möchte, ist viel einfacher: konvertieren $\vec E$Und $\vec B$zum beweglichen Rahmen: $$\begin{matrix} \text{E and B in a moving inertial frame} \\ \begin{align} \vec E' &= \vec E + \vec v \times \vec B \\ \vec B' &= \vec B - {1 \over c^2} \vec v \times \vec E \\ \end{align} \end{matrix}$$
Dies sind die (nicht-relativistischen) Umwandlungen elektrischer und magnetischer Felder in solche in einem sich mit Geschwindigkeit bewegenden Inertialsystem $\vec v$. Sie machen viele quasistatische Probleme trivial, und das Faradaysche Gesetz ist nicht anders. Anwenden auf das Gleitbalkenbeispiel von oben: $$\begin{array}{c|c} \text{The rest frame} & \text{The moving frame}\\ \hline \vec E = 0 & \vec E' = \vec v \times \vec B \\ \vec B = +B\hat z & \vec B' = \vec B \\ \end{array}$$
$\vec E = 0$im Ruhesystem, da keine Ladungsdichte vorhanden ist $\rho$in diesem Problem und wir benötigen $\vec E' = 0$Wenn $\vec v = 0$. Aus der Perspektive des sich bewegenden Balkens sieht er also eine Konstante $\vec B$Feld und $\vec E$Feld überall; kein Faradaysches Gesetz erforderlich. Seit $E'_y = vB$, können wir die Spannung wiederherstellen $\mathcal{E} = vBL$wie vorher gefunden. Beachten Sie bei dieser Berechnung, dass wir tatsächlich messen $\vec E'$im bewegten Rahmen. Zuletzt das Ergebnis der Anwendung der Leibniz-Integralregel: $$\begin{align} \vec \nabla \times ( \vec E + \vec v \times \vec B) &= - {\partial \vec B \over \partial t} \\ \vec \nabla' \times ( \vec E' ) &= - {\partial \vec B' \over \partial t} \\ \end{align}$$

entspricht der Anwendung der Feldtransformationen für E und B.