Inwiefern stimmt die physikalische Bedeutung von Curl mit diesen Szenarien überein?

Question

Inwiefern stimmt die physikalische Bedeutung von Curl mit diesen Szenarien überein?

Physik
Vektorfelder
Differenzierung
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen

Anonym

In den Grundlagenkapiteln der Elektrodynamik wurde ich in das Konzept der Kräuselung eines Vektorfelds eingeführt. Sie wurde wie folgt definiert

\nabla \times A = | \begin{matrix} \hat{ich} & \hat{J} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial X} & \frac{\partial}{\partial j} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_{X} & A_{j} & A_{z} \end{matrix} |

$\nabla \times \mathbf A = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$

Nun gut, das gibt uns die mathematische Beschreibung von Curl, aber ich wünschte mir die physikalische Bedeutung, also habe ich etwas gesucht und das gefunden

Die Kräuselung eines Vektorfeldes misst die Tendenz des Vektorfeldes herumzuwirbeln.

(Das Video von Grant Sanderson gibt der Locke auch die fast gleiche physikalische Bedeutung)

Aber werfen wir einen Blick auf das Magnetfeld, das von einem langen geraden Draht auf dem erzeugt wird $x$ Achse und der Strom fließt in positiver Richtung $x$ Achse. Wir wissen, dass das Feld kreisförmig und konzentrisch zum Draht sein wird,

durch die Maxwell-Gleichungen haben wir für den obigen Fall

\nabla \times B = μ_{0} J

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$ aber mein Problem ist für Punkt

A

$A$ Die Stromdichte ist Null, daher ist die Kräuselung nach der Gleichung am Punkt A ebenfalls Null, dh

\nabla \times B (A) = 0

$\nabla \times \mathbf B(A) = 0$ aber wir können sehr deutlich sehen, dass es an diesem Punkt eine Drehung gibt

A

$A$ und es neigt dazu, herumzuwirbeln .

Schauen wir uns nun das Feld eines Dipols an,

am Punkt $A$ Wir können sehr gut sehen, dass es eine Wendung gibt , aber die Maxwellschen Gesetze sagen

\nabla \times E = 0

$\nabla \times \mathbf E = 0$ für alle Punkte.

Ich brauche eine Erklärung, wie die physikalische Definition von Curl mit den zwei von vielen Szenarien übereinstimmt, die ich oben beschrieben habe.

Können wir etwas über das Feld ableiten, wenn die Komponenten von Curl bekannt sind? Zum Beispiel, wenn wir haben

{(\nabla \times A)}_{X} = C

$\left ( \nabla \times \mathbf A \right)_x = C$

{(\nabla \times A)}_{j} = 0

$\left ( \nabla \times \mathbf A\right)_y = 0$

{(\nabla \times A)}_{z} = 0

$\left ( \nabla \times \mathbf A \right)_z = 0$ können wir das aus der physikalischen Bedeutung von curl ableiten

A

$\mathbf A$ wird nur hineinwirbeln

x

$x$ Richtung und wird in Bezug auf gerade sein

y and z

$y ~\textrm{and}~z$ Richtung? Denn wenn uns die Locke den Grad der Drehung gibt, dann scheint es plausibel, darauf zu schließen

A

$\mathbf A$ wird Nulldrehung haben

y

$y$ Und

z

$z$ Richtung, aber es ist auch sinnlos, eine Drehung in nur zu haben

x

$x$ Richtung. Ich brauche eine Erklärung, wie diese umgekehrte Sache (Mittel angesichts der Locke und Ableitung des Felds) mit ihrer physikalischen Definition übereinstimmt?

All diese Zweifel entstehen nur, weil wir Locken eine physikalische Bedeutung zugeschrieben haben.

UPDATE : In diesem Link , den @AjayMohan gegeben hat, heißt es: „Es ist schwer, an eine Drehung um einen einzelnen Punkt zu denken“ und „Felder drehen sich nicht wie ein fester Körper“, aber der Link scheint nicht zu klären diese Probleme. Ich finde es sehr schwer, an Rotation durch dieses Schaufelradbeispiel zu denken, und wie nur $x$ Komponente von curl impliziert (andere zwei Komponenten sind Null), dass sich das Rad entlang dreht $x$ Achse.

Knzhou

Ich denke, du musst dir das verlinkte Video noch einmal ansehen. Curl ist der Betrag, um den das Feld um einen Punkt wirbelt . Sie werten es aus, indem Sie nur die Umgebung eines einzelnen Punktes betrachten. Insbesondere das " Twist " (wie Sie sagen) von Feldlinien hat nichts mit Curl zu tun.

Benutzer240696

@knzhou Ich habe mir das Video noch einmal angesehen, er sagte, wenn wir so etwas wie einen Zweig an einem Punkt platzieren, dann ist die Locke das Maß für die Menge an Spin, die verursacht würde.

Benutzer240696

Jetzt bin ich verwirrt, wie würde sich der Zweig drehen, wenn die Pfeile ihn in die gleiche Richtung drücken?

Ajay Mohan

@Knight Wenn die Stärke des Stoßes an verschiedenen Stellen des Zweigs unterschiedlich ist, kann sich der Zweig drehen.

Biophysiker

Verwandte Frage oder möglicherweise ein Duplikat: Konzeptionelles Verständnis von Zero Curl im Ampere'schen Gesetz

Benutzer240696

@AaronStevens Meine Frage unterscheidet sich von dem Link, den Sie angegeben haben, weil 1. Meine Frage sich wirklich auf die physikalische Bedeutung von Curl bezieht und ich gesagt habe, dass das Beispiel eines Schaufelrads für mich sehr schwer zu verstehen ist. 2. Meine Frage bezieht sich auf alle möglichen Bereiche, nicht nur auf das Amperegesetz. 3. Der zweite Teil meiner Frage (Ableitung der Art des Feldes aus seiner Locke) ist einzigartig für meinen Beitrag.

Benutzer240696

@AaronStevens Ich habe jedoch festgestellt, dass Ihr Link in gewisser Weise mit meinem Thread zusammenhängt.

Antworten (2)

Inwiefern stimmt die physikalische Bedeutung von Curl mit diesen Szenarien überein?

Ich denke, du musst dir das verlinkte Video noch einmal ansehen. Curl ist der Betrag, um den das Feld um einen Punkt wirbelt . Sie werten es aus, indem Sie nur die Umgebung eines einzelnen Punktes betrachten. Insbesondere das " Twist " (wie Sie sagen) von Feldlinien hat nichts mit Curl zu tun.
@knzhou Ich habe mir das Video noch einmal angesehen, er sagte, wenn wir so etwas wie einen Zweig an einem Punkt platzieren, dann ist die Locke das Maß für die Menge an Spin, die verursacht würde.
Jetzt bin ich verwirrt, wie würde sich der Zweig drehen, wenn die Pfeile ihn in die gleiche Richtung drücken?
@Knight Wenn die Stärke des Stoßes an verschiedenen Stellen des Zweigs unterschiedlich ist, kann sich der Zweig drehen.
Verwandte Frage oder möglicherweise ein Duplikat: Konzeptionelles Verständnis von Zero Curl im Ampere'schen Gesetz
@AaronStevens Meine Frage unterscheidet sich von dem Link, den Sie angegeben haben, weil 1. Meine Frage sich wirklich auf die physikalische Bedeutung von Curl bezieht und ich gesagt habe, dass das Beispiel eines Schaufelrads für mich sehr schwer zu verstehen ist. 2. Meine Frage bezieht sich auf alle möglichen Bereiche, nicht nur auf das Amperegesetz. 3. Der zweite Teil meiner Frage (Ableitung der Art des Feldes aus seiner Locke) ist einzigartig für meinen Beitrag.
@AaronStevens Ich habe jedoch festgestellt, dass Ihr Link in gewisser Weise mit meinem Thread zusammenhängt.

Ajay Mohan · Answer 1

In dem von OP zitierten Link schreibt der Autor Folgendes.

Die Kräuselung eines Vektorfelds [an einem gegebenen Punkt] misst die Tendenz des Vektorfelds, um [den gegebenen Punkt] zu wirbeln .

Das Wirbeln unterscheidet sich von einer bloßen Krümmung des Vektorfelds. Wenn der Satz falsch interpretiert wird, scheint dies zu implizieren, dass ein Vektorfeld, wenn es sich nur an einem Punkt krümmt , an diesem Punkt definitiv eine Krümmung ungleich Null aufweist.
Diese Fehlinterpretation ist nicht wahr: zB diese Math.SE-Antwort (und die Beispiele, die OP erwähnt hat).
Die Eigenschaft des Wirbelns ist durch eine einfache visuelle Untersuchung des Feldes schwer zu ermitteln.

Stattdessen ist es eine gute intuitive Interpretation, sich das fragliche Vektorfeld als die Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit vorzustellen und ein ausreichend kleines Schaufelrad an den interessierenden Punkt zu halten: Wenn es sich dreht, dann hat es an diesem Punkt eine Kräuselung ungleich Null . Das ist die Interpretation, die 3Blue1Brown im Video gibt .
Wenn die $x$ Die Komponente der Kräuselung eines Vektorfelds ist die einzige Nicht-Null-Komponente an diesem Punkt $P$ , dann bedeutet es unter Verwendung der Paddelrad-Interpretation, dass wenn ich mein Paddelrad auf den Punkt halte $P$ und orientieren Sie es entlang der $x$ Achse, es dreht sich. Ebenso, wenn ich stattdessen mein Schaufelrad entlang der ausrichte $y$ oder $z$ Achse, es dreht sich nicht.

Aber das Problem ist, was bedeutet das Wirbeln ? Sie haben in Ihrer Antwort angegeben, dass es sich von der Krümmung unterscheidet , aber Sie haben nicht beschrieben, was es ist. Außerdem hat Tavien in Ihrem MSE-Link gesagt, dass es problematisch ist, an Rotation um einen Punkt zu denken, aber er löst es auch nicht.

Sanaris · Answer 2

Wie ich verstanden habe, möchten Sie wissen, wie "Kraftlinien" des Vektorfelds $A$ Stehen im Zusammenhang mit $\nabla \times A$ . Per Definition ist "Kraftlinie" die Linie, die aus infinitesimalen Teilen besteht $\vec{dl}=[dx,dy,dz]^T$ die kolinear zu Komponenten von sind $\vec{A}$ :

\frac{D X}{A_{X} (X, j, z)} = \frac{D j}{A_{j} (X, j, z)} = \frac{D z}{A_{z} (X, j, z)} .

$\frac{dx}{A_x(x,y,z)} = \frac{dy}{A_y(x,y,z)} = \frac{dz}{A_z(x,y,z)}.$

Es gibt in der Tat eine interessante Beziehung. Sehen Sie sich den Curl- Ausdruck an :

(\nabla \times A)_{z} = \frac{\partial}{\partial X} A_{j} - \frac{\partial}{\partial j} A_{X},

$(\nabla\times A)_z=\frac{\partial}{\partial x} A_y - \frac{\partial}{\partial y} A_x,$ was dem Ausdruck von gemischten Variablen für die Vektorrichtung entlang der "Kraftlinie" sehr ähnlich sieht.

Wenn Sie es gemäß dem Gauß-Ostrogradsky-Stokes-Theorem integrieren

\int \nabla \times A D S = \oint_{L} A \cdot D l = \oint_{L, D l ⊥ A} A \cdot D l + \oint_{L, D l | | A} A \cdot D l,

$\int \nabla\times A\, dS = \oint_{L} A\cdot dl = \oint_{L,dl\perp A} A\cdot dl + \oint_{L,dl||A} A\cdot dl,\label{roteq}$ Sie können einen Integrationspfad wählen, der aus zwei Teilen besteht: Teilen Sie ihn kolinear in einen Vektor und senkrecht auf, und der erste Term wird immer Null sein und der zweite Term wird keine haben

\cos α

$\cos\alpha$ Art der Begriffe.

PS. Noch mehr, wenn dein Feld Kraft bedeutet $\int A\,dl$ wird Bedeutung der Arbeit haben . Dann haben $\oint A\,dl = 0$ (was gleich ist $\nabla\times A=0$ ) hat die Bedeutung, dass kreisförmige Arbeit gleich Null ist, was es Ihnen ermöglicht, potentielle Energie mit Ihrem Kraftfeld zu assoziieren $A$ . Deshalb Felder, die haben $\nabla\times A=0$ werden auch Potentialfelder genannt . Sie können das Skalarpotential einführen $\phi$ . Und danach stimmen Ihre Vektorlinien überein $\nabla\phi$ .

PS2. Was Sie "Twist" nennen, bedeutet, dass Kraftlinien ihre Krümmung haben. Dies ist völlig normal, da Kraftlinien nur an infinitesimalen Orten für bestimmte Bedingungen wie "keine Punktladungen, keine Punktströme" parallel zueinander sind (weit entfernt von sogenannten singulären Punkten in der Theorie der Differentialgleichungen).

Die physikalische Bedeutung von "Verdrehung", die Sie beobachten, ist mit Differenzen höherer Ordnung verbunden.

PS3. Diese Gleichung für Curl $\eqref{roteq}$ wird jetzt

\nabla \times A = \frac{1}{D S} (\int_{1 \to 2}^{l e F T} A D l + \int_{2 \to 1}^{R ich G H T} A D l) = \frac{1}{D S} \int_{1 \to 2} (A_{l e F T} - A_{R ich G H T}) D l,

$\nabla\times A = \frac{1}{dS} \Big(\int_{1\rightarrow2}^{left} A\,dl + \int_{2\rightarrow1}^{right} A\,dl \Big)=\frac{1}{dS} \int_{1\rightarrow2} (A_{left}-A_{right})\,dl,$ Dabei integrieren Sie die Differenz zwischen dem linken und rechten Wert entlang der rechten und linken Kraftlinie (entlang eines dünnen Streifens) und dividieren dann durch die quadratische Fläche des Streifens.

Können Sie bitte die Definition von „Kraftlinie“ erklären? Ich fand es ziemlich neu. Übrigens beschreibt Ihr erster Absatz wirklich mein Problem. Danke dass Du mich verstehst.

Inwiefern stimmt die physikalische Bedeutung von Curl mit diesen Szenarien überein?

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Sanaris

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