Eindeutigkeit des magnetischen Vektorpotentials?

Question

Eindeutigkeit des magnetischen Vektorpotentials?

malxmusiker212

Ich versuche, das magnetische Vektorpotential in einer Entfernung von zu finden $s$ (zylindrische radiale Variable) von einem unendlichen stromdurchflossenen Draht $I$ . Das Magnetfeld in der Ferne $s$ aus einem Draht ist

B = \frac{μ_{\circ} ICH}{2 π S} \hat{ϕ} .

$B=\dfrac{\mu_{\circ}I}{2\pi s}\hat{\phi}.$

Mit der Tatsache, dass $\nabla\times A=B$ Und $\nabla\cdot A=0$ , das habe ich vermutet $A=\dfrac{\mu_\circ I z}{2\pi s}\hat{s}$ erfüllt die notwendigen Voraussetzungen:

In Zylinderkoordinaten ist die Locke nur:

\begin{aligned} \nabla \times A & = (\frac{1}{S} \frac{\partial A_{z}}{\partial ϕ} - \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial z}) \hat{S} + (\frac{\partial A_{S}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial S}) \hat{ϕ} + \frac{1}{S} (\frac{\partial}{\partial S} (S A_{ϕ}) - \frac{\partial A_{S}}{\partial ϕ}) \hat{z} \\ = \frac{\partial A_{S}}{\partial z} \hat{ϕ} = \frac{μ_{\circ} ICH}{2 π S} \hat{ϕ} \\ = B \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \times A & =\left(\dfrac{1}{s}\dfrac{\partial A_z}{\partial \phi}-\dfrac{\partial A_{\phi}}{\partial z}\right)\hat{s}+\left(\dfrac{\partial A_s}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial s}\right)\hat{\phi} +\dfrac{1}{s}\left(\dfrac{\partial}{\partial s}(s\,A_{\phi})-\dfrac{\partial A_s}{\partial \phi}\right)\hat{z} \\ & =\dfrac{\partial A_s}{\partial z}\hat{\phi}=\dfrac{\mu_{\circ}I}{2\pi s}\hat{\phi} \\ & =B \end{align}$ und die Abweichung ist:

\nabla \cdot A = \frac{1}{s} \frac{\partial}{\partial s} (s A_{s}) + \frac{1}{s} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z} = \frac{1}{s} \frac{\partial}{\partial s} (\frac{μ_{\circ} I z}{2 π}) = 0

$\nabla \cdot A=\dfrac{1}{s}\dfrac{\partial}{\partial s}(s\,A_s)+\dfrac{1}{s}\dfrac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi}+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}=\dfrac{1}{s}\dfrac{\partial}{\partial s}\left(\dfrac{\mu_{\circ}Iz}{2\pi}\right)=0$ .

Dieses Potenzial erfüllt also sicherlich die notwendigen Anforderungen, unterscheidet sich aber von allem, was ich nachgeschlagen habe. Ich hätte gedacht, dass diese Potenziale einzigartig sind; Ich habe zu lange darauf gestarrt und brauche eine andere Meinung. Stimmt das, was ich habe, oder habe ich irgendwo einen Schluckauf gemacht?

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Eindeutigkeit des magnetischen Vektorpotentials?

Emilio Pisanty · Answer 1

Magnetische Potentiale sind bei weitem nicht einzigartig, wie Sie überzeugend gezeigt haben; Weitere Einzelheiten finden Sie unter „Gauge Freedom“ in Ihrem bevorzugten EM-Lehrbuch oder in Wikipedia . Auferlegung der Coulomb-Eichbedingung $\nabla\cdot\mathbf A=0$ verringert die Spurfreiheit, aber Sie können immer noch das Potenzial umwandeln

A \mapsto A^{'} = A + \nabla ψ

$\mathbf A\mapsto \mathbf A'=\mathbf A+\nabla\psi$ für jede Harmonische

ψ

$\psi$ so dass

\nabla^{2} ψ

$\nabla^2\psi$ , und erhalten ein anderes Potential, das (i) das gleiche Magnetfeld zurückgibt und (ii) auch die Coulomb-Eichbedingung erfüllt.

Für ausreichend regelmäßige Magnetfelder können Sie häufig zusätzliche Anforderungen an das Vektorpotential stellen - Regelmäßigkeitsbedingungen und einen geeigneten Zerfall im Unendlichen -, die es eindeutig spezifizieren können, aber ihre Machbarkeit hängt von der Freundlichkeit des Magnetfelds ab.

Um dies etwas deutlicher zu machen, haben Sie das gezeigt $\mathbf A_1=\dfrac{\mu_0Iz}{2\pi s}\hat s$ wirkt als Vektorpotential. Es ist jedoch genauso einfach, dies zu überprüfen $\mathbf A_2=-\dfrac{\mu_0I}{2\pi}\ln(s)\hat z$ funktioniert genauso gut: Es gibt das gleiche Feld zurück, und es ist auch in der Coulomb-Eichung. Was gibt? Nun, die beiden Messgeräte hängen durch die Transformation zusammen

A_{1} = A_{2} + \nabla ψ = A_{2} + \nabla (\frac{μ_{0} ICH}{2 π} z \ln (S)),

$\mathbf A_1 = \mathbf A_2+\nabla\psi = \mathbf A_2+\nabla\left(\dfrac{\mu_0I}{2\pi}z\ln(s)\right),$ Wo

ψ \propto z \ln (s)

$\psi\propto z\ln(s)$ gehorcht der Laplace-Gleichung. Welches ist vorzuziehen? Weder wirklich - sie sind beide einzigartig am Draht (

A_{1}

$\mathbf A_1$ mehr als

A_{2}

$\mathbf A_2$ ), und während

A_{2}

$\mathbf A_2$ wächst ins Unendliche, die

\sim 1 / s

$\sim 1/s$ Verfall von

A_{1}

$\mathbf A_1$ es ist wahrscheinlich zu langsam, um viel Hilfe zu sein. In dieser Situation ist das Magnetfeld zu singulär (unendlich dünner Draht) und enthält zu viel Energie (unendlich langer Draht), als dass Regelmäßigkeits- und Beschränktheitsbedingungen bei der Angabe eines eindeutigen Vektorpotentials sehr hilfreich wären.

Generell ist Spurweitenfreiheit etwas, das man oft weitgehend beheben kann, das aber immer im Hintergrund lauert. Außerdem gibt es einfach keine universell optimalen Möglichkeiten, das Messgerät zu fixieren (also zum Beispiel das Coulomb-Messgerät $\nabla\cdot \mathbf A=0$ ist nicht Lorentz-invariant, sondern die Lorenz-Eichung $\nabla\cdot \mathbf A+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0$ ist für nicht-relativistische Arbeiten umständlich und so weiter), daher müssen Sie sich eichungsabhängige Konstrukte immer als temporär, nicht eindeutig und nicht physikalisch vorstellen. Die umfassendere Antwort besteht darin, die Eindeutigkeit des magnetischen Potentials einfach loszulassen.

meine2cts · Answer 2

Man kann zwar „die Eindeutigkeit des magnetischen Potentials einfach loslassen“, aber es gibt eine Alternative: die Theorie des Elektromagnetismus aus der Fermi-Lagrange-Funktion aufzubauen, wie ich es in meiner Arbeit unter https://arxiv.org/abs getan habe /physik/0106078 . In dieser Theorie wird das Vektorpotential eindeutig durch die Anforderung bestimmt, dass es der Kausalität gehorchen sollte, wie dies bei jedem physikalisch bedeutsamen Objekt der Fall sein sollte. Dann ist die vorgeschlagene Vektorpotentialform falsch, obwohl ihre Drehung das richtige B-Feld und nur die Form ergibt $\mathbf A=-\dfrac{\mu_0I}{2\pi}\ln(s)\hat z$ ist akzeptabel.

Eindeutigkeit des magnetischen Vektorpotentials?

malxmusiker212

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Emilio Pisanty

meine2cts

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