Eichtheorie im klassischen Elektromagnetismus

Wenn man von einer Eichtheorie spricht, ist im Grunde eine Theorie gemeint, die unter der Wirkung einer lokalen kontinuierlichen Gruppe invariant ist, dh die Gruppe könnte an bestimmten Punkten in der Raumzeit unterschiedlich wirken. Dies ist anders als bei einer Übersetzung, bei der das gesamte System in eine andere Position gebracht wird.

Das Vorhandensein einer Eichsymmetrie impliziert das Vorhandensein einer Redundanz in der Beschreibung der Freiheitsgrade der Theorie. Nehmen wir zum Beispiel den Lagrange-Operator des Eichteils der Elektrodynamik, der in Bezug auf das Eichfeld gegeben ist$A_\mu$von

$$\mathcal{L}=-\frac12\partial^\mu A^\nu\partial_\mu A_\nu + \frac12\partial^\mu A^\nu\partial_\nu A_\mu + J^\mu A_\mu,$$

enthält keine Zeitableitung von$A_0$, wie durch explizites Ausschreiben der Indexkontraktionen zu sehen ist. Folglich gibt es keinen kanonisch konjugierten Impuls und daher hat das Feld keine Dynamik. Daher muss es aus der Theorie entfernt werden. Man kann dies tun, indem man dem Eichfeld eine Eichbedingung auferlegt. Das Interessante ist, dass die Wahl eines solchen Messgeräts nicht einzigartig ist, es gibt viele Möglichkeiten, das Feld einzuschränken. Die Wahl hängt nun davon ab, was man mit der Theorie machen möchte, welche Art von Berechnungen man durchführen möchte. Gängige Messgeräte, die überall auftauchen, wären das Coulomb-Messgerät (auch Quer- oder Strahlungsmessgerät genannt).

$$\nabla\cdot A=0,$$ die Lorenzlehre $$\partial^\mu A_\mu=0,$$ oder eine Familie von Bedingungen gegeben durch $$v^\mu A_\mu=0,$$

Wo$v^\mu$ist ein konstanter Vektor. Man spricht von Zeitmaß , wenn es zeitartig ist, von Lichtkegelmaß, wenn es lichtartig ist, und von Axialmaß, wenn es raumartig ist.

Um Ihre Frage direkt zu adressieren: Die Wahl eines Messgeräts ist nicht sinnlos, sondern wichtig, um eine konsistente Theorie redundanzfrei niederzuschreiben.