Lagragiasche Dichte eines masselosen Skalarfeldes

Es gibt verschiedene Arten von möglichen Antworten, je nachdem, woher Sie kommen. Ich gebe ein paar.

1. Betrachten Sie alle möglichen Lagrange-Dichten, die wir aufschreiben können und die Lorentz-invariant sind, nicht trivial sind und einen stabilen Vakuumzustand haben. Dann sind die von Ihnen angegebenen Formeln buchstäblich die einfachsten möglichen Optionen:

   • $\mathcal L$muss eine Funktion von sein$\phi$Und$\partial_\mu\phi$.
   • $\mathcal L$muss enthalten$\partial_\mu\phi$irgendwo, sonst wäre die Theorie da trivial$\phi$wäre nicht dynamisch.
   • Der einfachste Lorentz-Skalar, mit dem wir konstruieren können$\partial_\mu \phi$Ist$\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi$.
   • Darüber hinaus könnte die nächsteinfachste Option sein$\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi + c \phi$, aber diese Theorie hat keinen stabilen Vakuum- / Grundzustand, weil das Potential$V(\phi) = -c\phi$ist nicht nach unten begrenzt.
   • Daher ist die nächsteinfachste Option$\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi - m^2 \phi^2$.

2. Sie möchten ein Feld beschreiben, das die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt$\partial_\mu\partial^\mu \phi = 0$. Sie schreiben die Lagrange-Dichte auf$\mathcal L \sim \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi$und sehen, dass die richtige Bewegungsgleichung folgt.

3. Man beginnt mit mehreren gekoppelten Oszillatoren und notiert deren Wirkung wie in der (relativistischen) klassischen Mechanik. Liegen viele Oszillatoren dicht beieinander, kann man sie näherungsweise als klassisches Feld beschreiben. Die Durchführung dieser Annäherung ergibt einen Ausdruck für die Wirkung in Form der Lagrange-Dichte$\mathcal L \sim \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi - m^2\phi^2$.