Konzeptionelle Frage zur Feldtransformation

Question

Konzeptionelle Frage zur Feldtransformation

Physik
Symmetrie
Lügen-Algebra
Feldtheorie
konforme-Feld-Theorie

CAF

(vgl. Conformal Field Theory von Di Francesco et al., S. 39) Aus einer anderen Quelle verstehe ich die mathematische Ableitung, die zu Gl. (2.126) in Di Francesco et al. führt, jedoch verstehe ich konzeptionell nicht, warum die Gleichung so ist, wie sie ist. Die Gleichung ist

Φ^{'} (X) - Φ (X) = - ich ω_{A} G_{A} Φ (X)

$\Phi'(x) - \Phi(x) = -i\omega_a G_a \Phi(x)$ G ist definiert als der Generator, der sowohl die Koordinaten als auch das Feld transformiert, soweit ich weiß (es ist also der vollständige Generator der Symmetrietransformation), und dennoch scheint es keine Instanzen des transformierten Koordinatensystems (des gestrichenen Systems) zu geben. auf der linken Seite der Gleichung vorhanden.

Ein weiteres Beispiel ist die Gleichung $\Phi'(x') = D(g)\Phi(x)$ , wobei sich das Feld unter einer Repräsentation transformiert $D$ einer Lie-Gruppe. $D$ wird dann infinitesimal zerlegt als $1 + \omega \cdot S$ Wo $S$ ist die Spinmatrix für das Feld $\Phi$ . Also, wann $S$ auf dem Spielfeld wirkt, sollte es nicht nur die Spin-Indizes auf dem Spielfeld umwandeln? Aber es scheint, dass wir uns im gestrichenen System der Koordinaten auf der linken Seite befinden, was bedeutet, dass sich auch die Koordinaten geändert haben?

Kann jemand einige Gedanken liefern?

Ich habe mich auch gefragt, wie Di Francesco Gl. (2.127) erhalten hat. Hier ist, was ich dachte: Erweitern $\Phi(x')$ , wobei die „Form“ des Feldes (wie Grenier es ausdrückt) gleich bleibt, also $\Phi(x') \approx \Phi(x) + \omega_a \frac{\delta \Phi(x')}{\delta \omega_a}$ . Nun Einsetzen in (2.125) ergibt

Φ^{'} (X^{'}) = Φ (X^{'}) - ω_{A} \frac{δ X^{μ}}{δ ω_{A}} \frac{\partial Φ (X^{'})}{δ X^{μ}} + ω_{A} \frac{δ F}{δ ω_{A}} (X)

$\Phi'(x') = \Phi(x') - \omega_a \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a}\frac{\partial \Phi(x')}{\delta x^{\mu}} + \omega_a \frac{\delta F}{\delta \omega_a}(x)$ Dies ist fast das richtige Ergebnis, außer dass Di Francesco beim letzten Term eine Primzahl auf dem x hat. Mein Gedanke war, dass er eine äquivalente Funktion F im gestrichenen System definiert hat, dh

F (Φ (x)) \equiv F^{'} (Φ (x^{'}))

$F(\Phi(x)) \equiv F'(\Phi(x'))$ . Sind diese Argumente richtig?

Trimok

Ich denke, Sie haben Recht, Generatoren werden von Di Francesco wie folgt definiert:

Φ^{'} (x) - Φ (x) = - i ω_{a} G_{a} Φ (x)

$\Phi'(x) - \Phi(x) = -i\omega_a G_a \Phi(x)$ . Also lösche ich meine vorherige Antwort. Jedoch,

2.134

$2.134$ ist eine direkte Anwendung von

2.128

$2.128$

CAF

Ja, in der Tat, obwohl das, was Sie über die Umordnung von Gl. (2.128) gesagt haben, in

\frac{δ F}{δ ω_{A}} = \frac{δ X^{μ}}{δ ω_{A}} \partial_{μ} Φ - ich G_{A} Φ

$\frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a} = \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a} \partial_{\mu}\Phi - iG_a\Phi$ so, dass die

t o t a l

${\it total}$ Änderung von

F

$\mathcal F$ wegen

ω

$\omega$ ist ein Stück, das die Koordinaten transformiert, und ein Stück, das die Felder transformiert, macht Sinn. Was denken Sie?

Trimok

Die Antwort von @joshphysics ist klarer. Seine (*) Gleichung (und noch deutlicher die folgende Gleichung) mit seinen endgültigen Definitionen der

G_{a}

$G_a$ impliziert

2.128

$2.128$ , das ist

G_{a}^{(F)} = G_{a}^{(V)} - G_{a}^{(M)}

$G_a^{(\mathscr F)} = G_a^{(V)} - G_a^{(M)}$

CAF

Als du das gesagt hast

Φ (x^{'}) \approx Φ (x) + ω_{a} \frac{δ Φ (x)}{δ ω_{a}}

$\Phi(x') \approx \Phi(x) + \omega_a \frac{\delta \Phi(x)}{\delta \omega_a}$ , das macht mehr Sinn, aber wie führt es dann zur richtigen Gleichung (2.127)?

Trimok

OK, ich verstehe. Der Unterschied zwischen

x

$x$ Und

x^{'}

$x'$ ist nur unendlich klein (

ω_{a}

$\omega_a$ Parameter). Also bei der ersten Bestellung im (

ω_{a}

$\omega_a$ Parameter), macht es keinen Unterschied, wenn man bedenkt

ω_{a} \frac{δ F}{δ ω_{a}} (x^{'})

$\omega_a \frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a}(x')$ Und

ω_{a} \frac{δ F}{δ ω_{a}} (x)

$\omega_a \frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a}(x)$ . Der Unterschied zwischen den beiden liegt in zweiter Ordnung im infinitesimalen Parameter

ω_{a}

$\omega_a$ , also "vernachlässigbar"

CAF

Ah, sehr gut, es macht Sinn. Erklärt das auch den Strich auf dem x am Ende von (2.127) (der Strich erscheint auf

ω_{a} \frac{δ F}{δ ω_{a}} (x^{'})

$\omega_a \frac{\delta F}{\delta \omega_a}(x')$ )

Trimok

Ja, ich sprach genau davon

2.127

$2.127$

Antworten (1)

Konzeptionelle Frage zur Feldtransformation

Ich denke, Sie haben Recht, Generatoren werden von Di Francesco wie folgt definiert: $\Phi'(x) - \Phi(x) = -i\omega_a G_a \Phi(x)$ . Also lösche ich meine vorherige Antwort. Jedoch, $2.134$ ist eine direkte Anwendung von $2.128$
Ja, in der Tat, obwohl das, was Sie über die Umordnung von Gl. (2.128) gesagt haben, in $\frac{δ F}{δ ω_{A}} = \frac{δ X^{μ}}{δ ω_{A}} \partial_{μ} Φ - ich G_{A} Φ$ $\frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a} = \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a} \partial_{\mu}\Phi - iG_a\Phi$ so, dass die ${\it total}$ Änderung von $\mathcal F$ wegen $\omega$ ist ein Stück, das die Koordinaten transformiert, und ein Stück, das die Felder transformiert, macht Sinn. Was denken Sie?
Die Antwort von @joshphysics ist klarer. Seine (*) Gleichung (und noch deutlicher die folgende Gleichung) mit seinen endgültigen Definitionen der $G_a$ impliziert $2.128$ , das ist $G_a^{(\mathscr F)} = G_a^{(V)} - G_a^{(M)}$
Als du das gesagt hast $\Phi(x') \approx \Phi(x) + \omega_a \frac{\delta \Phi(x)}{\delta \omega_a}$ , das macht mehr Sinn, aber wie führt es dann zur richtigen Gleichung (2.127)?
OK, ich verstehe. Der Unterschied zwischen $x$ Und $x'$ ist nur unendlich klein ( $\omega_a$ Parameter). Also bei der ersten Bestellung im ( $\omega_a$ Parameter), macht es keinen Unterschied, wenn man bedenkt $\omega_a \frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a}(x')$ Und $\omega_a \frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a}(x)$ . Der Unterschied zwischen den beiden liegt in zweiter Ordnung im infinitesimalen Parameter $\omega_a$ , also "vernachlässigbar"
Ah, sehr gut, es macht Sinn. Erklärt das auch den Strich auf dem x am Ende von (2.127) (der Strich erscheint auf $\omega_a \frac{\delta F}{\delta \omega_a}(x')$ )

JoshPhysik · Answer 1

Gruppenaktionen in der klassischen Feldtheorie.

Lassen Sie eine klassische Theorie der Felder $\Phi:M\to V$ gegeben werden, wo $M$ ist eine "Basis"-Mannigfaltigkeit und $V$ ist ein Zielraum, den wir der Einfachheit halber und der pädagogischen Klarheit halber für einen Vektorraum halten. Lassen $\mathscr F$ bezeichnen die Menge zulässiger Feldkonfigurationen, nämlich die Menge zulässiger Funktionen $\Phi:M\to V$ die wir in der Theorie berücksichtigen.

In einer gegebenen Feldtheorie betrachten wir oft eine Aktion einer Gruppe $G$ am Set $\mathscr F$ von Feldkonfigurationen, die angeben, wie sie sich unter den Elementen der Gruppe „verwandeln“. Nennen wir diese Gruppenaktion $\rho_\mathscr F$ , So $\rho_\mathscr F$ ist ein Gruppenhomomorphismus, der Elemente abbildet $g\in G$ zu Bijektionen $\rho_\mathscr F(g):\mathscr F \to \mathscr F$ . Eine andere Art, dies zu sagen, ist das

\begin{aligned} ρ_{F} : G \to S j M (F) \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\mathscr F}:G\to \mathrm{Sym}(\mathscr F) \end{align}$ Wo

S y m (F)

$\mathrm{Sym}(\mathscr F)$ ist einfach die Gruppe der Bijektionsabbildung

F

$\mathscr F$ zu sich selbst.

Nun kommt es auch oft vor, dass wir eine solche Gruppenaktion in Bezug auf zwei andere Gruppenaktionen schreiben können. Die erste davon ist eine Aktion von $G$ An $M$ , nämlich eine Aktion der Gruppe auf der Basismannigfaltigkeit, auf der die Feldkonfigurationen definiert sind. Die zweite ist eine Aktion von $G$ An $V$ , nämlich eine Aktion der Gruppe auf den Zielraum der Feldkonfigurationen. Lassen Sie die erste bezeichnet werden $\rho_M$ und der zweite $\rho_V$ , also ausdrücklich

\begin{aligned} ρ_{M} & : G \to S j M (M) \\ ρ_{v} & : G \to S j M v . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_M &: G \to \mathrm{Sym}(M)\\ \rho_V &: G \to \mathrm{Sym}{V}. \end{align}$ In der Tat normalerweise die Gruppenaktion

ρ_{F}

$\rho_\mathscr F$ wird in Bezug auf geschrieben

ρ_{M}

$\rho_M$ Und

ρ_{V}

$\rho_V$ folgendermaßen:

\begin{aligned} (⋆) & ρ_{F} (G) (Φ) (X) = ρ_{v} (G) (Φ (ρ_{M} (G)^{- 1} (X))), \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\mathscr F}(g)(\Phi)(x) = \rho_V(g)(\Phi(\rho_M(g)^{-1}(x))), \tag{$\star$} \end{align}$ oder vielleicht etwas klarer schreiben, das so viele Klammern vermeidet,

\begin{aligned} ρ_{F} (G) (Φ) = ρ_{v} (G) \circ Φ \circ ρ_{M} (G)^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_\mathscr F(g)(\Phi) = \rho_V(g)\circ \Phi \circ \rho_M(g)^{-1}. \end{align}$

Kontaktaufnahme mit Di Francesco et. al.s Notation - Teil 1

Um mit der Notation von Di Francesco in Kontakt zu treten, beachten Sie, dass, wenn wir die Notation verwenden $x'$ für einen transformierten Basis-Mannigfaltigkeitspunkt, $\mathcal F$ für die Aktion der Zielraumgruppe und $\Phi'$ für die transformierte Feldkonfiguration, nämlich wenn wir die Abkürzungen verwenden

\begin{aligned} X^{'} = ρ_{M} (G) (X), ρ_{v} (G) = F, Φ^{'} = ρ_{F} (G) (Φ), \end{aligned}

$\begin{align} x' = \rho_M(g)(x), \qquad \rho_V(g) = \mathcal F, \qquad \Phi' = \rho_\mathscr F(g)(\Phi), \end{align}$ Dann (

⋆

$\star$ ) kann wie folgt geschrieben werden:

\begin{aligned} Φ^{'} (X^{'}) = F (Φ (X)) . \end{aligned}

$\begin{align} \Phi'(x') = \mathcal F(\Phi(x)). \end{align}$ das ist genau Gleichung 2.114 in Di Francesco

Lügengruppenaktionen und Infinitesimalgeneratoren.

Nun stell dir das vor $G$ ist eine Matrix-Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $\mathfrak g$ . Lassen $\{X_a\}$ Grundlage sein für $\mathfrak g$ , dann irgendein Element von $X\in\mathfrak g$ kann geschrieben werden als $\omega_aX_a$ (implizite Summe) für einige Zahlen $\omega_a$ . Darüber hinaus, $e^{-i\epsilon\omega_aX_a}$ ist ein Element der Lie-Gruppe $G$ für jede $\epsilon\in\mathbb R$ . Beachten Sie insbesondere, dass wir das Exponential um erweitern können $\epsilon = 0$ erhalten

\begin{aligned} e^{- ich ϵ ω_{A} X_{A}} = {ICH}_{G} - ich ϵ ω_{A} X_{A} + Ö (ϵ^{2}) . \end{aligned}

$\begin{align} e^{-i\epsilon\omega_aX_a} = I_G - i\epsilon\omega_aX_a + O(\epsilon^2). \end{align}$ Wo

I_{G}

$I_G$ ist die Identität an

G

$G$ . Also die

X_{a}

$X_a$ sind die infinitesimalen Generatoren dieser exponentiellen Abbildung. Beachten Sie, dass die Generatoren genau die Basiselemente sind, die wir für die Lie-Algebra gewählt haben. Wenn wir eine andere Basis gewählt hätten, wären die Generatoren andere gewesen. Aber nehmen wir nun an, wir bewerten die verschiedenen Gruppenaktionen

ρ_{F}, ρ_{M}, ρ_{V}

$\rho_\mathscr F, \rho_M, \rho_V$ auf einem Element von

G

$G$ so geschrieben, dann werden wir feststellen, dass es Funktionen gibt

G_{a}^{(F)}, G_{a}^{(M)}, G_{a}^{(V)}

$G_a^{(\mathscr F)}, G_a^{(M)}, G_a^{(V)}$ wofür

\begin{aligned} ρ_{F} (e^{- ich ϵ ω_{A} X_{A}}) & = {ICH}_{F} - ich ϵ ω_{A} G_{A}^{(F)} + Ö (ϵ^{2}) \\ ρ_{M} (e^{- ich ϵ ω_{A} X_{A}}) & = {ICH}_{M} - ich ϵ ω_{A} G_{A}^{(M)} + Ö (ϵ^{2}) \\ ρ_{v} (e^{- ich ϵ ω_{A} X_{A}}) & = {ICH}_{v} - ich ϵ ω_{A} G_{A}^{(v)} + Ö (ϵ^{2}), \end{aligned}

$\begin{align} \rho_\mathscr F(e^{-i\epsilon\omega_aX_a}) &= I_\mathscr F -i\epsilon\omega_a G_a^{(\mathscr F)} + O(\epsilon^2) \\ \rho_M(e^{-i\epsilon\omega_aX_a}) &= I_M -i\epsilon\omega_a G_a^{( M)} + O(\epsilon^2) \\ \rho_V(e^{-i\epsilon\omega_aX_a}) &= I_V -i\epsilon\omega_a G_a^{(V )} + O(\epsilon^2), \end{align}$ und diese Funktionen

G_{a}

$G_a$ sind per Definition die infinitesimalen Erzeuger dieser drei Gruppenaktionen. Beachten Sie noch einmal, dass die Generatoren, die wir erhalten, von der Basis abhängen, die wir für die Lie-Algebra gewählt haben

g

$\mathfrak g$ .

Kontaktaufnahme mit Di Francesco et. al.s Notation - Teil 2

Di Francesco verwendet einfach die folgenden Notationen:

\begin{aligned} G_{A}^{(F)} = G_{A}, G_{A}^{(M)} (X) = ich \frac{δ X}{δ ω_{A}}, G_{A}^{(v)} (Φ (X)) = ich \frac{δ F}{δ ω_{A}} (X) . \end{aligned}

$\begin{align} G_a^{(\mathscr F)} = G_a, \qquad G_a^{(M)}(x) = i \frac{\delta x}{\delta \omega_a}, \qquad G_a^{(V)}(\Phi(x)) = i\frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a}(x). \end{align}$ Wünschen Sie sich nicht, dass die Autoren dieses Zeug besser erklären würden? ;)

Beispiel. Lorentz-Vektorfeld.

Betrachten Sie als Beispiel eine Feldtheorie, die ein Lorentz-Vektorfeld enthält $A$ . Dann der Basiskrümmer $M$ wäre der Minkowski-Raum, die Gruppe $G$ wäre die Lorentz-Gruppe,

\begin{aligned} M = R^{3, 1}, G = S Ö (3, 1), \end{aligned}

$\begin{align} M = \mathbb R^{3,1}, \qquad G = \mathrm{SO}(3,1), \end{align}$ und die relevanten Gruppenaktionen würden für jede wie folgt definiert

Λ \in S O (3, 1)

$\Lambda \in \mathrm{SO}(3,1)$ :

\begin{aligned} ρ_{M} (Λ) (X) & = Λ X \\ ρ_{v} (Λ) (A (X)) & = Λ A (X) \\ ρ_{F} (Λ) (A) (X) & = Λ A (Λ^{- 1} X) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_M(\Lambda)(x) &= \Lambda x \\ \rho_V(\Lambda)(A(x)) &= \Lambda A(x) \\ \rho_\mathscr F(\Lambda)(A)(x) &= \Lambda A(\Lambda^{-1}x). \end{align}$

Vielen Dank Joshphysics! Ich habe ein paar kurze Fragen: -Ist $M$ Entspricht hier die 'Basis'-Mannigfaltigkeit beispielsweise einem Koordinatenraum oder Referenzrahmen, der in einen Minkowski-Raum eingebettet ist? -Tut die Tatsache, dass $V$ ein Vektorraum zu sein impliziert, dass das betrachtete Feld ein Vektorfeld ist? Also entspricht zB V dem Raum, in dem alle zulässigen Spinvektoren des Feldes leben?
Ist folgendes richtig? Bei einer Lorentz-Transformation haben wir das $\rho_{M}(g)(x) \rightarrow \Lambda$ , Wo $\Lambda$ ist ein Element der Poincare-Gruppe. In diesem Fall haben wir das auch $\rho_{\mathcal F}(g)(\Phi) = \Lambda$ . Aber was würde $\rho_{V}(g) \equiv \mathcal F$ vertreten?
@CAF Die Basismannigfaltigkeit wäre beispielsweise der Minkowski-Raum für Feldtheorien wie QED. Die Tatsache, dass $V$ ist ein Vektorraum erlaubt alle möglichen exotischen Dinge, wie zum Beispiel, dass das Feld ein Tensorfeld ist (Tensoren sind selbst Elemente eines Vektorraums). Das Feld könnte auch ein Spinorfeld usw. sein. Ich habe am Ende ein Beispiel hinzugefügt, um die Notation zu verdeutlichen.
Ich verstehe, danke. Wenn $x' = \Lambda x$ , Dann $\Lambda^{-1} x' = x$ . Die vorletzte Gleichung oben in Di Francescos Notation ist $\mathcal F (\Phi(x)) = \Lambda \Phi(x),$ (Di Francesco verwendet tatsächlich $L_{\Lambda}$ .) In ähnlicher Weise (und ich bin mir nicht sicher) ist die letzte Gleichung, die Sie geschrieben haben, äquivalent $\Phi'(x') = \Lambda \Phi (x)$ ?(hmm, das ist das gleiche wie vorher)
@CAF Ja, die letzte Gleichung, die ich geschrieben habe, ist äquivalent zu $\Phi'(x') = \Lambda \Phi(x)$ was nicht dasselbe ist wie die vorletzte Gleichung. Die vorletzte Gleichung ist nur die Zielraumtransformation, während die letzte Gleichung die gesamte Transformation des Feldes einschließlich sowohl der Zielraumtransformation als auch der Basismannigfaltigkeitstransformation ist.
Der Grund, warum ich dachte, es sei dasselbe, war, weil er in Di Francesco (2.114) die Identifizierung vornimmt $\Phi'(x') \equiv \mathcal F(\Phi(x))$ . Die Gleichung in einem Teil Ihrer Antwort oben. Danke.

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