Muss ein klassischer Lagrange-Operator oder ein Hamilton-Operator eine reelle Funktion sein?

∙ Ist es fair anzunehmen, dass der klassische Hamilton- oder Lagrange-Operator eines Systems (eines Teilchens oder eines Felds) immer eine reellwertige Funktion ist?

∙ Wenn nein, können Sie Gegenbeispiele nennen?

∙ In den Fällen, in denen der Hamiltonoperator die Gesamtenergie eines Systems darstellt, muss er aus physikalischen Gründen real sein. Gibt es darüber hinaus ein anderes Kriterium, das verlangt, dass ein Lagrange- oder Hamilton-Operator real sein muss?

Wenn Sie Ihren Kommentar zum Hamilton-Operator und zur Energie als Ausgangspunkt verwenden, ist der Lagrange-Operator im Wesentlichen die Laplace-Transformation von H (oder -H). Unter normalen Umständen wäre L also auch real. Es sei denn, Sie haben dem Konfigurationsraum einige imaginäre Freiheitsgrade hinzugefügt. Eine andere Frage könnte sein, ob Sie dem System nicht-reale dof hinzufügen könnten, während Sie H und L mit realen Werten beibehalten.

Antworten (2)

Jeder physische Lagrangian oder Hamiltonian ist real. Vielleicht gibt es da draußen Modelle, in denen L Und H sind komplex, aber in diesen Fällen muss die "Komplexität" der mathematischen Bequemlichkeit dienen, und die in einem solchen Modell berechneten Größen müssen in reale Größen umgewandelt werden oder entsprechen einfach nicht physikalischen Observablen. Ein wichtiger Grund dafür ist, dass das Integral einer komplexen Funktion im Allgemeinen auch komplex ist. Daher würde ein komplexer Lagrangian zu einer komplexen Aktion führen, die keinen Sinn ergibt. Auch wenn der Hamiltonian nicht der Energie entspricht, einem Komplexwert H würde zu einem komplexen Lagrangian führen, also bleibt das Problem bestehen.

Warum macht eine komplexe Aktion keinen Sinn? @Othin
Man braucht eine reale Aktion, um messbare (reale) Größen in der klassischen Physik zu erhalten. Natürlich können Sie immer noch komplexe Variablen verwenden, aber am Ende wird dies entweder eine Art mathematischer Trick sein (wie eine Transformation durchführen und später sicherstellen, dass eine reelle Größe daraus extrahiert wird) oder ein komplexes Feld, das nicht entspricht jede messbare Größe, wie eine Wellenfunktion. Sie müssten dann ein Gerät postulieren, das eine physikalische Interpretation ermöglicht, wie wir es beispielsweise tun, wenn wir das Quadrat des wf als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretieren.

Ich bin mir nicht sicher, ob ein klassischer Lagrange echt sein muss. Der Grund ist wie folgt. Wenn wir mit einer echten Lagrangefunktion beginnen und eine komplexe totale Divergenz hinzufügen, erhalten wir eine komplexe Lagrangefunktion, aber diese endgültige Lagrangefunktion hat die gleichen Bewegungsgleichungen wie die anfängliche Lagrangefunktion, sodass man diese endgültige Lagrangefunktion verwenden kann, wenn es für sie bequemer ist einige Gründe, und erhalten Sie korrekte Ergebnisse.

Beispiel: Beachten wir, dass der Standard-Dirac-Lagrangeian ψ ¯ ( ich γ μ ∂ μ − M ) ψ ist im Allgemeinen komplex (und Sie können diese Theorie vor der zweiten Quantisierung als klassisch betrachten), aber Sie können eine komplexe Gesamtdivergenz hinzufügen und diese Lagrange-Funktion real machen (symmetrische Lagrange-Funktion). ich 2 ( ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ − ( ∂ μ ψ ¯ ) γ μ ψ ) − M ψ ¯ ψ ).

Muss ein klassischer Lagrange-Operator oder ein Hamilton-Operator eine reelle Funktion sein?
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