Welche Symmetrie ist für die Amplitudenunabhängigkeit der Periode eines einfachen harmonischen Oszillators verantwortlich?

1. Die sauberste Herleitung ist die Hamiltonsche Formulierung . Dann ist die erhaltene Ladung der Hamiltonoperator

   $$H~=~\frac{p^2}{2m}+\frac{kq^2}{2}\tag{A}$$ (im Grunde das Quadrat der Amplitude$A$) und erzeugt die infinitesimale Symmetrietransformation im Phasenraum $$\begin{align}\delta q~=~&\epsilon \{q ,H\}, \cr \delta p~=~&\epsilon \{p ,H\}, \cr \delta t~=~&0. \end{align}\tag{B}$$ Dies ist im Wesentlichen die zweite Vermutung von OP.

2. Allerdings ist die Symmetrietransformation im Satz von Noether nicht eindeutig, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier . Für die Energieeinsparung (OPs erste Vermutung) wird dies zB in meiner Phys.SE-Antwort hier demonstriert .

3. Kommen wir zu Winkelwirkungsvariablen

   $$\begin{align} \varphi~:=~&\arg(p+im\omega q)~\sim~\varphi+2\pi, \cr J~:=~&\frac{1}{2\pi}\oint p \mathrm{d}q. \cr \{\varphi,J\}~=~&1. \end{align}\tag{C}$$ Dann wird der SHO -Hamiltonoperator (A). $$H~=~\omega J,\quad\text{where}\quad \omega~:=~\sqrt{k/m}.\tag{D}$$

4. Die Tatsache, dass die Periode nicht von der Amplitude abhängt, wird durch die Bewegungskonstante codiert

   $$Q~=~\varphi -\omega t.\tag{E}$$ Es erzeugt die infinitesimale Quasi-Symmetrie -Transformation
   $$\begin{align} \delta \varphi~=~&\epsilon \{\varphi ,Q\}~=~0, \cr \delta J~=~&\epsilon \{J ,Q\}~=~-\epsilon, \cr \delta t~=~&0.\end{align} \tag{F}$$

Für den einfachen harmonischen Oszillator sind die beiden Symmetrietransformationen gleich:

Die Übersetzung dauert

Schreiben wir den harmonischen Oszillator Lagrangeian als$L = \frac{1}{2} (\dot{x}^2 - \omega^2 x^2)$.

Was ist die Symmetrie, die garantiert, dass die Periode nicht von der Amplitude abhängt?

Es liegt nahe zu vermuten, dass diese Symmetrie eine Transformation beinhalten sollte, die die Amplitude variiert . Jetzt können wir einfach schreiben$\delta x = \epsilon x$, Wo$\epsilon$ist ein infinitesimaler Parameter, und diese räumliche Neuskalierung ist eine Symmetrie der Bewegungsgleichung $\ddot{x} = -\omega^2 x$, was ausreicht, um die gewünschte Schlussfolgerung zu ziehen. Jede Lösung kann in eine Lösung mit einer anderen Amplitude, aber derselben Periode umgewandelt werden.

Aber das ist nicht gut genug. Der Sinn der Frage besteht darin, eine Symmetrie der Wirkung und ein entsprechendes Noether- Erhaltungsgesetz zu finden , das die gewünschte Eigenschaft erzwingt;$\delta x = \epsilon x$ist keine Symmetrie der Wirkung und entspricht keinem Erhaltungssatz. Lassen Sie uns versuchen, dies innerhalb des Lagrange-Rahmens zu überwinden.

Um eine solche Symmetrie zu finden, ist der entscheidende Schritt, dass wir anstelle der Konstanten eine Funktion des Zustands verwenden können$\epsilon$. Jetzt werde ich etwas schummeln, um die richtige Funktion zu identifizieren: Die Antwort von Qmechanic hat bereits (in einem Hamilton-Formalismus) darauf hingewiesen, dass die relevante Transformation die Amplitude ändert, um die Energie zu ändern$H$durch eine additive Konstante . Weil$H$ist ein homogenes Polynom in$x$, wenn wir wechseln$x$um einen Betrag proportional zu$x$, wir verändern uns$H$um einen Betrag proportional zu$H$. Also zum wechseln$H$durch eine Konstante, müssen wir kompensieren, indem wir den Betrag der Neuskalierung dividieren$x$von$H$. Dies führt zu

Ist dies eine Symmetrie der Aktion? Lassen Sie uns auswerten:

Jedoch,$B$ist insofern "wie" eine Gesamtzeitableitung, als der davon abgeleitete Beitrag zur Bewegungsgleichung identisch zu verschwinden scheint, dh Verstopfen und Tuckern ergeben

Wir tuckern durch Noethers Theorem, die explizite Gesamtzeitableitung, die wir extrahiert haben$\delta L$oben hebt sich auf, und das "Erhaltungsgesetz" wird ausgedrückt als

Was ist los? Seit$B$ist keine Gesamtzeitableitung,$\int dt\, B$hängt nicht nur von den Anfangs- und Endzuständen ab. Die obige Berechnung zeigt dies jedoch$\int dt\, B$wird durch infinitesimale Variationen der Trajektorie nicht verändert. Die Auflösung ist das$\int dt\, B$ist eine topologische Invariante .

Die Trajektorie kann als Kurve in der eingezeichnet werden$(\dot{x}, \omega x)$Ebene. Wenn dies als euklidische Ebene behandelt wird, dann$\omega B$ist die Winkelgeschwindigkeit um den Ursprung. So$(\omega/2\pi) \int dt\, B$ist die Anzahl von "Umläufen" oder "Zyklen" , die für eine beliebige Trajektorie in der durchstochenen Ebene mit dem Ursprung wohldefiniert ist$(\dot{x}, \omega x) = (0, 0)$durch die Beschränkung ausgeschlossen$H \ne 0$.

Während$B$keine Gesamtzeitableitung ist, können wir schummeln und sie mit der Zeitableitung einer mehrwertigen Funktion des Zustands in Beziehung setzen: dem Phasenwinkel $\varphi$im$(\dot{x}, \omega x)$Ebene, die bis zu einem Vielfachen wohldefiniert ist$2\pi$. Das spezifische Vielfache von$2\pi$kann bestimmt werden, indem der spezifischen kontinuierlichen Flugbahn gefolgt wird, sofern sie gehorcht$H \ne 0$.

Jetzt mit$B = \dot{\varphi}/\omega$, das "Erhaltungsgesetz" wird

Zuerst habe ich die Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine Differentialgleichung erster Ordnung transformiert.

Mit$x=y_1~$Und$~\dot x=y_2$Sie erhalten

Der Eigenwert$~\pm i~$der Matrix Q sind proportional zur Periode von$x(t)$. Die Eigenwerte würden sich nicht ändern, wenn Sie die Matrix Q mit einer orthogonalen 2D-Transformation transformieren würden$~R$.

Daher$Q\mapsto R^T\,Q,R$

Die Lösung ist

Wo$\vec v_i$sind die konstanten Eigenvektoren.

für$Q\mapsto i\,\left(T^{-1}\,Q\,T\right)$Wo$T=\left[\vec v_1~,\vec v_2\right]$, die Eigenwerte ändern sich auch nicht.

Und weil die Matrix Q konstant ist, hängen die Eigenwerte (Periode) nicht von der Amplitude ab.

Schätze 1 stellt fest, dass die Energieerhaltung jeder Lösung die Amplitudenerhaltung jeder Lösung impliziert.

Vermutung 2 stellt fest, dass der Lösungssatz unter Rotation im Phasenraum geschlossen ist, da eine solche Rotation die Lösungen einer bestimmten Amplitude verbindet.

Vermutung 1 ist die einzige, die ein relevantes Argument für die Zuordnung eines Aktionssystems zu einem Erhaltungsgesetz darstellt; Wie vermutet, bleibt die Energie (Hamiltonisch, nennen Sie es, wie Sie wollen) erhalten.

Vermutung 2 betrifft ein anderes Anliegen, nämlich die Tatsache, dass die Angabe einer Phase eine Form der spontanen Symmetriebrechung ist. (Sicher, die Leute haben normalerweise so etwas wie das Higgs-Boson im Sinn, wenn sie diesen Jargon verwenden, aber dies ist auch eine gültige Verwendung des Begriffs.)

Nur die erste Vermutung ist eine Symmetrie, denn nur dort musste man die Bewegungsgleichungen verwenden, um das zu behaupten$\delta x = \dot{x} \delta t$ließ die Amplitude invariant.

Die zweite Vermutung ist eine Redundanz bei der Angabe des Energiefunktionals. Sie können es sich als Koordinatentransformation vorstellen. Aber da wirkt es auf$x \equiv q$Und$\dot{x} \equiv p$Unabhängig davon muss seine Form kanonisch sein . Von der globalen Form der Transformation

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Die Sache mit Amplitude und Frequenz ist, dass es sich um zwei völlig unterschiedliche Arten von Parametern handelt. Der erste wird durch den Anfangszustand festgelegt (nach dem er erhalten bleibt), während der zweite eine feste Eigenschaft des Systems ist. Eine Frage, warum sie unabhängig sind, kann also als "Warum sind beliebige Amplituden zulässig" interpretiert werden. Das folgt für mich daraus, dass$A$kann nur mit ausgedrückt werden$x$Und$\dot{x}$, die die Freiheitsgrade sind, die von einer ODE zweiter Ordnung nicht spezifiziert werden.

Die Frage, welches Erhaltungsgesetz für die Existenz dieses (oder eines anderen) freien Parameters in der Lösung verantwortlich ist, klingt irreführend. Man kann die Anzahl der freien Parameter zählen, indem man überprüft, wie viele Zeitableitungen in den Bewegungsgleichungen vorkommen, aber dies wird im Allgemeinen größer sein als die Anzahl der unabhängigen Erhaltungsgrößen. Selbst bei Problemen wie diesem, bei denen die Anzahl der freien Parameter und der Erhaltungsgrößen gleich ist (bekannt als integrierbare Systeme ), sehe ich nicht, was einen Weg ausmachen würde, sie besser zu koppeln als den anderen.