Warum können wir keinen Hamiltonoperator durch Einsetzen erhalten?

Eine ziemlich grundlegende Bemerkung ist, dass wir uns normalerweise eindeutig identifizieren können

Wo$T$ist die kinetische Energie und$U$ist die potentielle Energie, und

Das Ausdrücken dieser Größen für z. B. eine Hooke-ähnliche Feder (oder irgendein System, wo$U\neq 0$) würde Ihnen ein Problem mit dem Vorzeichen geben$U$wenn Sie einfach den gefundenen Ausdruck ersetzen$\dot{q}(p)$ins Lagrange.$^1$Der Hamilton-Operator ist also definitiv nicht nur der Lagrange-Operator mit$\dot{q}$ausgedrückt in Bezug auf$p$.

Mathematischer ausgedrückt ist der Hamilton-Operator als die Legendre-Transformation des Lagrange-Operators definiert. (Einige Erläuterungen zur Legendre-Transformation - insbesondere im Zusammenhang mit Lagrange und Hamilton - finden Sie in meiner Antwort hier sowie in den anderen Antworten auf diese Frage.)

$^1$In der Tat wäre die Lagrange-Funktion für ein solches (1D)-System

für die der kanonisch konjugierte Impuls gilt

und deshalb

Einfach einfügen$p$in den Lagrange würde nachgeben

Beachten Sie den Vorzeichenunterschied des zweiten Terms.

Ich weiß zwar zu schätzen, dass Wouters Antwort zeigt, dass Sie die oben genannte Substitution tatsächlich nicht einfach durchführen können, sie beantwortet meiner Meinung nach jedoch nicht wirklich die Frage (dh warum funktioniert die Substitution nicht).

Die zugrunde liegende Verwirrung rührt wahrscheinlich von der Tatsache her, dass in der Mathematik eine Substitution stattfindet$\dot{q}(p)$eingesteckt ist$f\left(t,q,\dot{q}\right)$Sie werden sicherlich mit einer Funktion enden$f\left(t,q,\dot{q}\right)=g\left(t,q,p\right)$.

Die eigentliche Antwort auf die Frage ist also, dass der Lagrange- und der Hamilton-Formalismus nur zwei verschiedene Paradigmen sind, und egal, was Sie stattdessen in den Lagrange einsetzen$\dot{q}$Sie werden immer mit einem anderen Lagrangian enden (aber für ein anderes Problem). Mit anderen Worten die$L$vor$\left(t,q,\dot{q}\right)$hat andere Auswirkungen als die$H$, wie stationäre Aktion,$n$Gleichungen zweiter Ordnung für$n$Koordinaten (wo$n$ist die Zahl der Freiheitsgrade) vs.$2n$Gleichungen erster Ordnung für$2n$Koordinaten usw. Dies ist anders als in der Mathematik, wo$f$trägt keine andere Annahme anders zu$g$.

Was Sie geschrieben haben, ist eine variable Änderung im Rahmen derselben Lagrange-Funktion. Es bleibt ein Lagrange.

Ich würde argumentieren, dass der Grund, warum Ihre Methode fehlschlägt, darin besteht, dass die Umwandlung zwischen Lagrange- und Hamilton-Dynamik keine einfache Substitution ist, sondern durch die mathematische Transformation von Koordinatenbasen, bekannt als Legendre-Transformation , die in Form der Hamilton- und Lagrange-Funktionen gegeben ist

Wie Wouter betont , ergibt die Transformation, die Sie anbieten, eigentlich nicht die richtige Transformation.

Die Berechnung eines Hamilton-Operators aus einem Lagrange-Operator führt uns zu einer neuen Größe, die eine Funktion von Koordinaten und Impulsen ist. Wenn Sie einfach die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses in den Lagrangian einsetzen, hängt der "Hamiltonian" implizit von der Geschwindigkeit ab. Das wollen wir nicht.

Lassen Sie mich Ihnen ein Beispiel zeigen, um zu erklären, warum der Hamilton-Operator (der übliche) nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Nehmen wir an, das System ist eindimensional. So ist die Lagrange-Funktion$L=L(q,\dot q)$. Die Euler-Lagrange-Gleichung ist

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}=\frac{\partial L}{\partial q}$.

Das kanonische Momentum ist$p=\partial L/\partial \dot q$. Wenn wir die Legendre-Transformation machen, haben wir

$H(p,q)=p\dot q-L(q,\dot q(p))$

und betrachten Sie die Variation von$H$:

$\delta H=p\delta \dot q+\dot q\delta p-\frac{\partial L}{\partial q}\delta q-\frac{\partial L}{\partial\dot q}\delta \dot q$.

Wir können jetzt die Definition von einfügen$p$:

$\delta H=\dot q\delta p-\frac{\partial L}{\partial q}\delta q$

was das zeigt$H$ist keine explizite Funktion von$\dot q$, was wir wollen.