Welchen Zweck hat es, zu betonen, dass eine Aktion unter Diffeomorphismus unveränderlich ist?

Nachdem ich das Buch „Differential Geometry and Lie Groups for Physicists“ von Marian Fecko in Abschnitt 16.4.1 gelesen habe, glaube ich, dass ich nahe daran bin zu verstehen, was Physiker mit Invarianz einer Aktion unter Diffeomorphismus meinen. Im Folgenden erkläre ich Marian Feckos Diskussion zur Diffeomorphismus-Invarianz einer Aktion.

Betrachten Sie eine klassische Feldtheorie$\phi$auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit$(M,g)$, Wo$g_{ab}$ist seine Metrik. Wir sagen die Wirkung natürlich in Bezug auf die Diffeomorphie im folgenden Sinne.

Lassen Sie uns eine solche Differentialform definieren$\Omega[\phi,g]$über die Aktion definiert

$$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\int_{D}L(\phi,\nabla\phi,g)\omega_{g}$$ Wo $D\subset M$ist eine Untermannigfaltigkeit und $\omega_{g}$ist die Volumenform auf $D$der Metrik zugeordnet $g$.

Nehmen wir also an, dass die Variation von Feldern und die Variation von Raumzeitkoordinaten an der Grenze verschwinden$\partial D$. In mathematischer Terminologie entspricht diese Anforderung einer Strömung$\Psi_{t}:M\rightarrow M$das ist willkürlich drinnen$D$verschwindet aber weiter$\partial D$.

Wir sagen, dass die Wirkung unter dem Diffeomorphismus invariant (oder natürlich) ist$\Psi_{t}$wenn der Pullback zufriedenstellend ist

$$\Psi_{t}^{\ast}(\Omega[\phi,g])=\Omega[\Psi_{t}^{\ast}(\phi),\Psi_{t}^{\ast}(g)].$$

Unter einer solchen Anforderung, da die Strömung keine Punkte auf der Grenze bewegt, unter einer infinitesimalen Variationsmenge$\Psi_{\epsilon}$durch ein Vektorfeld erzeugt$V$In$M$, wir haben$\Psi_{\epsilon}(D)=D$. Es folgt dem

$$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\int_{\Psi_{\epsilon}(D)}\Omega[\phi,g]=\int_{D}\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\Omega[\phi,g])$$ $$=\int_{\Psi_{\epsilon}(D)}\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\Omega[\phi,g])=\Psi_{\epsilon}^{\ast}(S[\phi,g])$$ $$=\int_{D}\Omega[\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\phi),\Psi_{\epsilon}^{\ast}(g)]=\int_{D}\Omega[\phi+\epsilon\mathcal{L}_{V}\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]+o(\epsilon),$$ Wo $\mathcal{L}_{V}$ist die Lie-Ableitung entlang des Flusses, und wir haben in der ersten Zeile die Integration durch Substitution verwendet. Da klassische Felder on-shell sein müssen, $\phi$extremiert die Handlung $S[\phi,g]$. Wir haben dann $$\int_{D}\Omega[\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\phi),\Psi_{\epsilon}^{\ast}(g)]=\int_{D}\Omega[\phi+\epsilon\mathcal{L}_{V}\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]=\int_{D}\Omega[\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g].$$ und so $$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\Psi_{\epsilon}^{\ast}(S[\phi,g])=\int_{D}\Omega[\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]+o(\epsilon).$$ Daher haben wir per Definition des Energie-Impuls-Tensors $$S[\phi,g]=S[\phi,g]-\epsilon\int_{D}\frac{1}{2}(\mathcal{L}_{V}g)_{ab}T^{ab}\omega_{g}+o(\epsilon),$$ und so $$\int_{D}(\mathcal{L}_{V}g)_{ab}T^{ab}\omega_{g}=0,$$ für willkürliche Variationen $\delta g$, schließen wir daraus, dass der Energie-Impuls erhalten bleibt, dh $\nabla_{a}T^{ab}=0$.

Zusammenfassend ist die Diffeomorphismusinvarianz einer Aktion eine entscheidende Bedingung für die Erhaltung des Energie-Impuls-Tensors des Systems.

Ich hoffe, dies kann zum Verständnis derer beitragen, die einst auch davon verwirrt waren. Willkommen, um alle Fehler und Missverständnisse zu klären, die ich habe.

Vielleicht ist ein einfaches Beispiel angebracht: Die Aktion für ein nicht-relativistisches freies Teilchen

$$S[x]~=~\int \! dt ~L, \qquad L ~=~ \frac{m}{2}\dot{x}^2,$$

ist unter Zeitumparametrisierungen nicht forminvariant

$$t\quad\longrightarrow \quad t^{\prime} ~=~f(t).$$

Im Gegensatz dazu wird angenommen, dass die moderne fundamentale Physik (wie zB die Stringtheorie) geometrisch ist, und dass die Wirkungsformulierung reparametrisierungs- und diffeomorphismusinvariant sein soll.

In gewisser Weise haben Sie völlig recht: Integrale sind bei Variablenänderungen unveränderlich. Aber in der Physik gibt es einen wesentlichen Punkt, der nicht oft betont wird, dass jede Funktion, die Sie integrieren, durch eine Formel gegeben ist, die in allen Koordinatensystemen funktionieren sollte.

Mit anderen Worten, um eine Variablenänderung richtig durchzuführen, müssen Sie einen Jacobi einbeziehen. Aber aus physikalischer Sicht bedeutet die Einbeziehung eines Jacobianers, zu wissen, in welchem ​​​​Koordinatensystem Sie sich befinden. Woher wissen Sie sonst, dass Sie einen Jacobianer einbeziehen sollten? In unseren Integralen wollen wir also, dass die Jacobi-Zahl Einheit ist; in einer allgemeinen Mannigfaltigkeit geschieht dies durch Festhalten des Faktors von$\sqrt{-g}$.

Lassen Sie mich Ihnen ein Beispiel geben. Angenommen, wir haben das Integral$\int_0^1\int_0^1\ dx\ dy$, und nehmen wir an, das Ergebnis ist physikalisch sinnvoll. Machen wir einen Koordinatenwechsel$x = x'^2$: Nach dem Variablenänderungssatz wird unser Integral nun geschrieben als$\int_0^1\int_0^1 2x'\ dx'\ dy$. Obwohl das Ergebnis dasselbe ist, ist das Integral nicht unveränderlich, da ich wissen muss, welche Koordinaten ich verwende, um zu wissen, ob ich die einbeziehen soll$2x'$. Die ursprüngliche Formel soll in allen Koordinatensystemen gleich funktionieren.

Die Funktion selbst sollte auch unveränderlich sein, und dies ist ein weiterer Punkt, an dem Physiker und Mathematiker dasselbe Wort für unterschiedliche Dinge verwenden. Für uns ist ein Skalar nicht nur eine Zahl; es soll in allen Koordinatensystemen gleich sein. Sie könnten sich darüber beschweren, dass eine Nummer wie z$4$ist in allen Koordinatensystemen gleich, aber noch einmal: In der Physik werden unsere Funktionen durch Formeln definiert, und die gleiche Formel sollte für alle funktionieren, unabhängig von ihren Koordinaten. Zum Beispiel, wenn Sie eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit Koordinaten haben$(x,y)$und du hast die funktion$f(x,y)=x$, dann ist diese Funktion kein Skalar! Die Berechnung in verschiedenen Koordinaten führt zu unterschiedlichen Ergebnissen.