Polyakov-Aktion

Der Schlüssel hier ist, zwischen zwei verschiedenen Mannigfaltigkeiten zu unterscheiden. Wir haben$M$als Raumzeit angenommen, und innerhalb dieser Mannigfaltigkeit$M$, stellen wir uns einen sich ausbreitenden String vor, der eine Fläche überstreicht$\Sigma \subset M$.

Die Einbettungsfunktionen von$\Sigma$Sind$X^\mu(\tau,\sigma)$die tragen a$\mu$Index über Raumzeit, sondern sind Funktionen von Koordinaten, die für definiert sind$\Sigma$als eigenständige Mannigfaltigkeit behandelt.

Die Polyakov-Aktion ist

$$S \sim \int d^2 \sigma \, \sqrt{-h}\, h^{ab} g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu$$

Wo$h_{ab}$ist die induzierte Metrik auf der Oberfläche$\Sigma$, Und$g_{\mu\nu}$ist die Metrik von$M$, daher unter Vertrag genommen$X^\mu$Und$X^\nu$die Raum-Zeit-Indizes tragen.

Also, wenn ich irgendetwas sagen muss$P^a$die einen Worldsheet-Index trägt$a$, zu senken$a$An$P^a$, würde man die Metrik weiter verwenden$\Sigma$und somit$P_a = h_{ab}P^b$. Ebenfalls,$M$Indizes werden mit angehoben und abgesenkt$g_{\mu\nu}$.

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Eine Subtilität

Sie mögen jetzt denken, dass wir, wenn wir irgendeine Operation durchführen, die einen Raum-Zeit-Index enthält, dies in Bezug auf die Mannigfaltigkeit tun$M$, aber das ist nicht unbedingt der Fall.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben einen Unterverteiler$\Sigma \subset M$eingebettet in$M$. Wir können eine kovariante Ableitung definieren,$\nabla_\mu$was Sie denken würden, bedeutet gewöhnliche kovariante Differenzierung bzgl$g_{\mu\nu}$.

Dies muss jedoch nicht der Fall sein. Allgemein,$\Sigma$erbt zwei im Wesentlichen äquivalente Metriken von$M$, die induzierte Metrik$\gamma_{ab}$normal berechnet aus der Einbettung und der ersten Fundamentalform,$^\dagger$

$$h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} \pm n_\mu n_\nu$$

das ist eine Art Projektion der Metrik auf$M$; Hier$n_\mu$ist der Normalenvektor. Daher,$\nabla_\mu$könnte kovariante Differenzierung bedeuten$\Sigma$obwohl es einen Raum-Zeit-Index trägt, wenn bzgl$h_{\mu\nu}$.

Normalerweise werden Mehrdeutigkeiten wie diese in den meisten Quellen deutlich gemacht, und ein Großteil der Maschinerie der Differentialgeometrie von Untermannigfaltigkeiten wird in einführenden Texten zur Stringtheorie nicht benötigt.

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$\dagger$Hier$h_{\mu\nu}$ist nicht zu verwechseln mit$h_{ab}$. ich nahm$h$einfach, weil normalerweise immer die erste Grundform genannt wird$h$. Notiz$\gamma_{ab}$Hier ist die gleiche Metrik, die in der Nambu-Goto-Aktion auftaucht.

Tatsächlich gibt es zwei Metriken, und es gibt zwei Sätze von Indizes, die Tensoren auf dem Weltblatt zugeordnet sind: einen für das Weltblatt und einen für den Zielraum. Zum Beispiel,$X^{\mu}(\tau, \sigma)$trägt keine World-Sheet-Indizes, aber einen Zielraumindex$\mu$, also sollte man senken oder erhöhen$\mu$durch die Zielbereichsmetrik. Andererseits,$\partial_aX^{\mu}$trägt sowohl den Zielraumindex$\mu$, und Weltblattindex$a$. Man sollte also senken/erhöhen$a$nach World-Sheet-Metrik und Lower/Raise$\mu$nach Zielbereichsmetrik .

Man kann dies auch in der Sprache der Tensoren als mutilineare Karten sagen, aber ich bin mir nicht sicher, ob es für diese Frage hilfreicher wäre.