Polyakov-Aktion: Differenzinduzierte Metrik und dynamische Metrik

Question

Polyakov-Aktion: Differenzinduzierte Metrik und dynamische Metrik

Funzies

Die Polyakov-Wirkung ist gegeben durch:

S_{P} = - \frac{T}{2} \int D^{2} σ \sqrt{- G} G^{a β} \partial_{a} X^{μ} \partial_{β} X^{v} η_{μ v} = - \frac{T}{2} \int D^{2} σ \sqrt{- G} G^{a β} γ_{a β},

$S_p ~=~ -\frac{T}{2}\int d^2\sigma \sqrt{-g}g^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}X^{\mu}\partial_{\beta}X^{\nu}\eta_{\mu\nu} ~=~ -\frac{T}{2}\int d^2\sigma \sqrt{-g}g^{\alpha\beta}\gamma_{\alpha\beta},$ Wo

γ_{α β}

$\gamma_{\alpha\beta}$ heißt die induzierte Metrik und

g_{α β}

$g_{\alpha\beta}$ die dynamische Metrik auf dem Weltblatt. Ich habe Schwierigkeiten, die Unterschiede zwischen diesen beiden Metriken zu verstehen. Ich weiß, dass letzteres eingeführt wird, um die Quadratwurzel in der Nambu-Goto-Aktion entfernen zu können, aber ich weiß nicht, was es bedeutet. Der Raum, in dem sich die Zeichenfolge ausbreitet, hat nur die Minkowski-Metrik

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ , Wenn ich nicht falsch liege. Außerdem denke ich, dass die induzierte Metrik durch Nachfragen abgeleitet wird

$ds^2$ (ganzer Raum) = $\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$ = $ds^2$ (Weltblatt) = $\gamma_{\alpha\beta}d\sigma^{\alpha}d\sigma^{\beta}$

Ist das richtig? Ich bin wirklich verwirrt von all diesen verschiedenen Metriken.

QMechaniker

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JoshPhysik · Answer 1

Es gibt zwei Mannigfaltigkeiten, die an der Ausbreitung von Strings beteiligt sind.

Die Raumzeit, in der sich der String ausbreitet.
Das Weltblatt der Saite selbst.

Die Felder $X^\mu$ sind Einbettungskoordinaten des Weltbildes in der Raumzeit-Mannigfaltigkeit. Das bedeutet für jeden Punkt $(\sigma^1, \sigma^1)$ auf dem Weltblatt, $X^\mu(\sigma^1, \sigma^2)$ gibt die Koordinaten dieses Punktes in der Raumzeit-Mannigfaltigkeit an.

In dem Fall, den Sie in Betracht ziehen, wird die Raumzeit als Minkowski angenommen, also ist die Metrik $\eta_{\mu\nu}$ . Jetzt könnten wir fragen

"Angesichts der Tatsache, dass das Weltblatt eine zweidimensionale eingebettete Untermannigfaltigkeit des Minkowski-Raums ist, gibt es eine Möglichkeit, dass diese Mannigfaltigkeit ihre Metrik von der Metrik der umgebenden Raumzeit erbt?"

Diese Frage ist analog zu

„Da die Kugel $S^2$ ist eine zweidimensionale eingebettete Untermannigfaltigkeit des euklidischen Raums $\mathbb R^3$ , gibt es einen natürlichen Sinn, von dem es seine Metrik erbt $\mathbb R^3$ ?

Die Antwort auf diese beiden Fragen lautet ja, und die Metrik auf der Untermannigfaltigkeit, die dies tut, ist genau die induzierte Metrik. Die Formel drückt die induzierte Metrik für eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit einer umgebenden Mannigfaltigkeit mit Metrik aus $g_{\mu\nu}$ (nicht unbedingt flach) in Bezug auf die Einbettungskoordinaten ist

γ_{A B} (σ) = G_{μ v} (X (σ)) \partial_{A} X^{μ} (σ) \partial_{B} X^{v} (σ), σ = (σ^{2}, σ^{2})

$\gamma_{ab}(\sigma) = g_{\mu\nu}(X(\sigma))\partial_aX^\mu(\sigma)\partial_b X^\nu(\sigma), \qquad \sigma = (\sigma^2, \sigma^2)$ Sie haben Recht mit der Ableitung der induzierten Metrik, sie ergibt sich aus der Forderung, dass der zwischen Punkten auf der eingebetteten Untermannigfaltigkeit gemessene Abstand als dieselbe Zahl berechnet wird, unabhängig davon, ob Sie die Umgebungsmetrik oder die induzierte Metrik verwenden. Um zu sehen, dass der obige Ausdruck für die induzierte Metrik dies tut, beachten Sie einfach, dass der infinitesimale Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten auf der eingebetteten Untermannigfaltigkeit in Bezug auf die Umgebungsmetrik und die Einbettungskoordinaten geschrieben werden kann als

\begin{aligned} G_{μ v} (X (σ)) D (X^{μ} (σ)) D (X^{v} (σ)) & = G_{μ v} (X (σ)) \partial_{A} X^{μ} (σ) \partial_{B} X^{v} (σ) D σ^{A} D σ^{B} \\ = γ_{A B} (σ) D σ^{A} D σ^{B} \end{aligned}

$\begin{align} g_{\mu\nu}(X(\sigma))d(X^\mu(\sigma))d(X^\nu(\sigma)) &= g_{\mu\nu}(X(\sigma))\partial_a X^\mu(\sigma)\partial_bX^\nu(\sigma)d\sigma^ad\sigma^b \\ &= \gamma_{a b}(\sigma)d\sigma^ad\sigma^b \end{align}$ Um eine gewisse Intuition für all dies zu bekommen, erinnern Sie sich an diesen Ausdruck für die Einbettung von Koordinaten von

S^{2}

$S^2$ In

R^{3}

$\mathbb R^3$ Ist

\begin{aligned} X (θ, ϕ) & = Sünde θ \cos ϕ \\ Y (θ, ϕ) & = Sünde θ Sünde ϕ \\ Z (θ, ϕ) & = \cos θ \end{aligned}

$\begin{align} X(\theta, \phi) &= \sin\theta\cos\phi\\ Y(\theta, \phi) &= \sin\theta\sin\phi\\ Z(\theta, \phi) &= \cos\theta \end{align}$ und mit diesen Einbettungen sollten Sie zeigen können, dass die Metrik auf der Kugel einfach ist

γ_{A B} (θ, ϕ) = D ich A G (1, {Sünde}^{2} θ)

$\gamma_{ab}(\theta, \phi) = \mathrm{diag}(1, \sin^2\theta)$

Lassen Sie mich wissen, wenn das unklar ist oder wenn Sie mehr Details benötigen!

Danke für diese gründliche Erklärung, die induzierte Metrik ist mir jetzt völlig klar. Könnten Sie vielleicht etwas mehr auf die dynamische Metrik eingehen $g_{\alpha\beta}$ , die auch auf dem String World Sheet definiert ist?
Hmm, nun, welche Art von Ausarbeitung suchen Sie? Es ist wahr, dass die dynamische Metrik auf dem Worldsheet definiert ist, da sie auf dem gesamten Umgebungsraum definiert ist ...
Nun, es ist eine dynamische Metrik, die eine Bewegungsgleichung hat, die durch Variieren der Aktion berechnet werden kann. Aber eine Metrik ist wirklich eine Möglichkeit, Entfernungen in der Raumzeit zu messen, wie kann dies also dynamisch sein und unterschiedliche Werte haben?
@joshphysics: Sind die Zielmetrik einer gekrümmten Mannigfaltigkeit und ihre induzierten metrischen Funktionale? Ist ein Raum von Einbettungskarten eine endlichdimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit? Eine Kategorie glatter Verteiler ist keine kartesische geschlossene Kategorie ( en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_closed_category ). Ein Zielraum der Stringtheorie muss also der sogenannte verallgemeinerte glatte Raum mit Riemannscher Struktur sein. Siehe auch physicalforums.com/threads/… .

löwenbrits · Answer 2

Ich möchte hinzufügen, dass das geometrische Bild und die Beziehung zwischen Nambu-Goto- und Polyakov-Aktionen nur Hinweise und Heuristiken sind. Insbesondere werden String-Streuamplituden in einem Lorentzschen Raum berechnet, aber die Weltblätter sind euklidisch. Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, dass Topologieänderungen die Kausalität nicht berücksichtigen, sodass verzweigte Weltblätter für ein euklidisches Weltblatt problematisch sind. Wäre toll, wenn ein Stringtheoretiker das näher erläutern könnte.

Benutzer62602 · Answer 3

Richtig, es gibt folgende Gleichung:

X^{μ} = Z^{μ} (σ)) (D X^{μ} = \partial_{A} Z^{μ} (σ) D σ^{A})

$X^{\mu}=Z^{\mu}(\sigma)) (dX^{\mu}=\partial_{a}Z^{\mu}(\sigma)d\sigma^{a})$

für eine 2D-Oberfläche, die beispielsweise in einen flachen endlichdimensionalen Zielraum innerhalb der Polyakov- und Nambu-Goto-Aktion eingebettet ist. Der Haupt-/einzige "Grund", warum Menschen (meistens QFTs-Theoretiker, die sich selbst als "String-Theoretiker" bezeichnen und von anderen als "String-Theoretiker" bezeichnet werden möchten) die Polyakov-Aktion (für meist nichtssagende Berechnungen) verwenden, ist die Tatsache, dass sie die quadratische Form hat ( na und) und deshalb haben sie eine große Hoffnung, dass es viel einfacher ist, "quantisiert" zu werden als die Nambu-Goto-Aktion (was auch immer dieses Wort für Sie bedeutet, weil sie die oben erwähnten Stringkoordinaten Z^{\mu }(\sigma) als „Skalarfelder“ (die sogenannten „BOSONIC-String-Koordinaten“) über einer 2d-Fläche mit Koordinaten \sigma^{a}).

Wenn die Quanten-(Teilchen-)Mechanik eine zweistufige Quantentheorie ist:

http://www.springer.com/philosophy/book/978-0-7923-3565-8

dh 1d QFT, dann muss die Quanten-(Super-)String-Kinematik eine 3-Tier-Quantentheorie sein:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/cobordism.pdf

was nicht nur 2d (super)konforme QFT sein könnte (es muss viel reichhaltiger sein). Übrigens „konnte gezeigt werden“, dass die oben erwähnte induzierte Metrik und die World-Sheet-Metrik nach „dem Standard-Quantisierungsverfahren“ in „der gleichen Weise“ zusammenhängen wie nur im klassischen (Nicht-Quanten-)Fall wenn der flache Zielraum 26-dimensional ist.

Darum:

Albert Einstein: "Wir können Probleme nicht lösen, indem wir die gleiche Denkweise anwenden, mit der wir sie geschaffen haben.",

Liebe "Lionelbrits", ein Stringtheoretiker hat das oben Erwähnte nicht weiter ausgeführt.

Somit könnten die oben erwähnten Aktionen (Polyakovs und Nambu-Gotos) kein Ausgangspunkt für Quantenstrings jeglicher Art sein, aber es liegt an euch Schwulen, etwas gegen diese schlechte Sache in den aktuellen Mathematisierungsversuchen für grundlegende Naturgesetze zu tun.

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