Umwandlung der Polyakov-Aktion in die Nambo-Goto-Aktion?

Die beste Ableitung ist die von Polyakov, und sie ist im langen String-Kapitel von "Gauge Fields and Strings" zu finden.

Der entscheidende Punkt ist, dass das h-Feld im Pfadintegral integriert wird, aber keine Ableitungsterme hat, sodass die Schwankungen im h-Feld nur dazu dienen, es an jedem Punkt durch seinen stationären Wert zu ersetzen. Die X-Teile gehen einfach mit, wenn Sie nach stationären Punkten von h suchen, sodass Sie die Aktion schreiben können als

$$S = \int \sqrt{h} h^{\alpha\beta} \gamma_{\alpha\beta}$$

Wo$\gamma_{\alpha\beta} = \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X_\mu$ist das Skalarprodukt von an$\alpha$Schritt koordinieren mit a$\beta$Koordinatenschritt, dh es ist die induzierte Metrik. Die induzierte Metrik spielt die Rolle eines Quellterms im h-Pfad-Integral (das X-Pfad-Integral wird ignoriert). Die stationäre Punktbedingung wird durch Variieren von h gefunden (unter Verwendung der wichtigen Determinanten-Variationsformel$\delta h = h h^{\alpha\beta} \delta h_{\alpha\beta}$die du im Matheunterricht als "Erweiterung um Minoren" und "der umgekehrte Kleinsatz" lernst):

$$\sqrt{h} \gamma_{\alpha\beta} + {1\over2\sqrt{h}} h h_{\alpha\beta} h^{\kappa\delta}\gamma_{\kappa\delta}$$

Wenn du nach h auflöst, findest du das

$$h_{\alpha\beta} = - {\gamma_{\alpha\beta}\over {1\over 2} h^{\kappa\delta}\gamma_{\kappa\delta}}$$

Dies mag wie eine unvollständige Lösung aussehen, aber der Nenner auf der rechten Seite ist ein Skalar, also bedeutet dies, dass die Tensoren h und$\gamma$sind proportional

$$h_{\alpha\beta} = A(x) \gamma_{\alpha\beta}$$

Wobei die Proportionalitätskonstante A(x) keinen Unterschied macht (alle zwei A-Auswahlmöglichkeiten ergeben Lösungen und führen zu derselben Aktion).

Setzen Sie in der Aktion den Extremalwert für h ein und denken Sie daran, wie man eine inverse Matrix nimmt:$h^{\alpha\beta} = {1\over A} \gamma^{\alpha\beta}$, und Sie erhalten den Aktionsbeitrag für jede externe Quelle$\gamma_{\alpha\beta}$ist proportional zu$\sqrt{\gamma}$egal was$A(x)$zufällig ist, was die Nambu-Goto-Aktion ergibt. Dann integrieren Sie die Nambu-Goto-Aktion über die verbleibenden Pfad-Integral-Variablen, die die Einbettungskoordinaten sind$X^\mu$.

Das Nambu-Goto-Pfadintegral ist schwer zu verstehen, außer es klassisch zu lösen, harmonische Oszillatoren zu definieren und diese zu quantisieren, indem man annimmt, dass sie sich in standardmäßige harmonische Oszillatoren verwandeln. Dies ist der alte Ansatz der Stringtheorie. Die Polyakov-Aktion wird nur verwendet, um eine Lehre für h festzulegen, die das Problem in ein einfaches Sigma-Modell umwandelt. Die Äquivalenz zwischen ihnen ist also eher eine formale Sache, die die Entwicklung des harmonischen Oszillators mit den Scheitelpunktoperatoren im h-Formalismus in Beziehung setzt. Es ist nicht unbedingt eine Pfad-Integral-Gleichung, da das Nambu-Goto-Pfadintegral nicht klar definiert ist, außer es in Polyakov umzuwandeln und die Lehre für h zu fixieren.