Problem beim Erhalten von Zeichenfolgengleichungen aus der Polyakov-Aktion [geschlossen]

Ihre Ableitung ist nahe. Die Polyakov-Aktion ist

$$S[X,\gamma] = T\int d\tau\int d\sigma (-\gamma)^{1/2}\gamma^{ab}\partial_aX^\mu \partial_bX_\mu,$$ für $T = -(4\pi\alpha')^{-1}$. Die Variation in Bezug auf die Zeichenfolge $X_\mu$dann gibt $$\frac{\delta S}{\delta X^\mu} = T\int d\tau\int d\sigma\left[\frac{\delta}{\delta X^\mu}\left((-\gamma)^{1/2}\gamma^{ab}\partial_aX^\mu\right) \partial_bX_\mu\right]$$ $$+ T\int d\tau\int d\sigma\left[(-\gamma)^{1/2}\gamma^{ab}\partial_aX^\mu \frac{\delta}{\delta X^\mu}\partial_bX_\mu\right],$$ Die erste davon gibt $$\frac{\delta}{\delta X^\nu}\left((-\gamma)^{1/2}\gamma^{ab}\partial_aX^\mu\right) = (-\gamma)^{1/2}\nabla^2X_\nu$$ Das zweite davon ist $\partial_b\delta^\mu_\nu$und wertet den Mittelwertsatz der Infinitesimalrechnung aus. Die gesamte Variation ist dann $$\frac{\delta S}{\delta X^\nu} = T\int d\tau\int d\sigma(-\gamma)^{1/2}\left(\nabla^2X^\mu + \partial^a X_\mu\partial_b\delta^\mu_\nu\right)$$ $$= T\int d\tau\int d\sigma(-\gamma)^{1/2}\nabla^2X^\mu - T\int d\tau(-\gamma)^{1/2}\partial^\sigma X_\mu\Big|_{\sigma=0}^{\sigma=\ell}$$