Wie beweist man dieses Matrixdifferential für die Born-Infeld-Theorie?

Für jede Matrix$A$:

$$\delta \mathrm{tr}\, A = \mathrm{tr}\, \delta A$$ seit $\mathrm{tr}$ist nur eine lineare Kombination von Matrixelementen seines Arguments, und $\delta$ist linear. Explizites Schreiben der Indizes ( $\delta_{ij}$ist Kroneckers Delta): $$\delta \, \mathrm{tr} A = \delta A_{ii} = \delta (\delta_{ij} A_{ij}) = \delta_{ij} \delta A_{ij} = \delta_{ij} (\delta A)_{ij} = \mathrm{tr} \, \delta A$$

Nehmen wir jetzt$A= \log (1-M^2)$und weiter:

$$\mathrm{tr}\,\delta \log (1-M^2) =\mathrm{tr}\,\left[ -(1-M^2)^{-1} \delta (M^2) \right]= -2 ({(1-M^2)^{-1}})_{ij} M_{jk} \delta M_{ki}$$ jetzt schreiben $$({(1-M^2)^{-1}})_{ij} M_{jk} = \left(\frac{M}{1-M^2}\right)_{ik}$$ Sie haben Ihr Ergebnis für jede Matrix $M$.

Im vorliegenden Fall sind die Dinge etwas anders, da Sie Lorentz-Indizes richtig behandeln müssen und Spuren durch Kontraktion mit der inversen Metrik berechnet werden$\eta^{\mu\nu}$, also bspw

$$\mathrm{tr}\,\left[(1-M^2)^{-1} \delta (M^2) \right] = ((1-M^2)^{-1})^{\alpha\beta} \delta (M^2)_{\beta\alpha},$$ aber das Schlüsselargument ist das zuvor erwähnte.