Ableitung von Bewegungsgleichungen der Supergravitation

Question

Ableitung von Bewegungsgleichungen der Supergravitation

Kenny H

Neulich habe ich beschlossen, schnell sicherzustellen, dass ich die Supergravitations-Bewegungsgleichungen für den NS/NS-Sektor mit der folgenden Aktion ableiten kann:

S = \int_{M_{10}} D^{10} X \sqrt{- G} e^{- 2 ϕ} (R + 4 (\partial ϕ)^{2} - \frac{1}{12} H_{A B C} H^{A B C})

$S=\int_{M_{10}}d^{10}x \space \sqrt{-g} e^{-2\phi}\left(R+4(\partial \phi)^2-\frac{1}{12}H_{abc}H^{abc}\right)$

Durch Variieren der Metrik ergibt der Ricci-Skalar-Term (R) nur den Term einer Einstein-Gleichung $R_{ab}-\frac{1}{2}Rg_{ab}$ . Der skalare Feldterm sollte einfach genug sein, da er wirklich nur 4 ist $g^{ab}\partial_a\phi \partial_b \phi$ . Dies würde nur einen Term in den Feldgleichungen ergeben, der so aussieht $4\partial_a\phi \partial_b \phi$ . Der Flussterm, wobei dies zu beachten ist $H_{abc}=\partial_a b_{bc}-\partial_b b_{ac}+\partial_c b_{ab}$ , gibt einen Begriff $-\frac{1}{4}(H^2)_{ab}$ .

Laut verschiedenen Artikeln (insbesondere https://arxiv.org/abs/1205.2274 ) sollte man die folgende Bewegungsgleichung für die metrische Variation erhalten:

R_{A B} + 2 D_{A} D_{B} ϕ - \frac{1}{4} (H^{2})_{A B} = 0

$R_{ab}+2D_a D_b \phi-\frac{1}{4}(H^2)_{ab}=0$

Wie Sie sehen können, habe ich kein Problem damit, den letzten Term zu bekommen, aber ich verstehe nicht, wie der Einstein- und der skalare Feldterm kombiniert werden, um zu kommen $R_{ab}+2D_a D_b \phi$ .

Übersehe ich hier nur eine Vereinfachung oder sieht es so aus, als hätte ich tatsächlich einen Fehler in meiner Berechnung gemacht?

Wakabaloola

Das Problem hier ist das Wort „schnell“. Wenn Sie die Berechnung sorgfältig durchgehen, werden Sie keine Schwierigkeiten haben, die richtigen Bewegungsgleichungen zu finden. Die handschriftliche Ableitung kann bis zu 100 handschriftliche Seiten umfassen (je nachdem, wie viel davon Sie von Grund auf neu ableiten möchten. (und vergessen Sie nicht die

e^{- 2 ϕ}

$e^{-2\phi}$ Faktoren ..)

Kenny H

100 Seiten? Wie könnte das möglich sein, um die Metrik für eine Aktion mit drei Begriffen zu variieren? Unterhalb der Aktion habe ich geschrieben, was ich für die Beiträge zur metrischen Variation berechnet habe. Das dauerte nicht länger als eine Seite. Sehen diese in irgendeiner Weise falsch aus?

Wakabaloola

Sie finden nicht, was Sie erwarten, richtig? Mein Vorschlag ist, es sorgfältig zu tun und ihm den Respekt zu zollen, den es verdient. Eine Seite wird es nicht tun. Ja, als ich es durchgearbeitet habe, hat es bis zu 100 Seiten gedauert (ich habe alles abgeleitet und nichts als selbstverständlich angesehen), da das der Ansatz ist, der für mich funktioniert.

Kenny H

Ich meine keine Respektlosigkeit, aber der Vorschlag, es sorgfältig zu tun, ist nicht wirklich hilfreich. Ich suchte nach etwas Spezifischerem wie "Die Variation mit Ihrem kinetischen Begriff sieht falsch aus". Wenn ich zurückblicke, sieht es so aus, als hätte ich den Fehler vergessen

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ als ich den zweiten und dritten Term in der Handlung variierte. Ich werde nachrechnen und sehen.

Hkw

1. Schreiben Sie zuerst die Aktion in den Einstein-Frame, die sich auf Ihre String-Frame-Metrik bezieht, wie z

G_{m n} = e^{Φ / 2} g_{m n}

$G_{mn}=e^{\Phi/2} g_{mn}$ . Hier

G_{m n}

$G_{mn}$ sind Einstein-Frame-Metrik und andere ist Ihre übliche String-Frame-Metrik. 2. Schreiben Sie nun die Einstein-Gleichung, die nur der Einstein-Tensor auf der linken Seite und der Spannungstensor auf der rechten Seite der Gleichung ist. Alle Felder tragen zum Spannungstensor bei (Skalare und 3-Form).

Antworten (1)

Ableitung von Bewegungsgleichungen der Supergravitation

Das Problem hier ist das Wort „schnell“. Wenn Sie die Berechnung sorgfältig durchgehen, werden Sie keine Schwierigkeiten haben, die richtigen Bewegungsgleichungen zu finden. Die handschriftliche Ableitung kann bis zu 100 handschriftliche Seiten umfassen (je nachdem, wie viel davon Sie von Grund auf neu ableiten möchten. (und vergessen Sie nicht die $e^{-2\phi}$ Faktoren ..)
100 Seiten? Wie könnte das möglich sein, um die Metrik für eine Aktion mit drei Begriffen zu variieren? Unterhalb der Aktion habe ich geschrieben, was ich für die Beiträge zur metrischen Variation berechnet habe. Das dauerte nicht länger als eine Seite. Sehen diese in irgendeiner Weise falsch aus?
Sie finden nicht, was Sie erwarten, richtig? Mein Vorschlag ist, es sorgfältig zu tun und ihm den Respekt zu zollen, den es verdient. Eine Seite wird es nicht tun. Ja, als ich es durchgearbeitet habe, hat es bis zu 100 Seiten gedauert (ich habe alles abgeleitet und nichts als selbstverständlich angesehen), da das der Ansatz ist, der für mich funktioniert.
Ich meine keine Respektlosigkeit, aber der Vorschlag, es sorgfältig zu tun, ist nicht wirklich hilfreich. Ich suchte nach etwas Spezifischerem wie "Die Variation mit Ihrem kinetischen Begriff sieht falsch aus". Wenn ich zurückblicke, sieht es so aus, als hätte ich den Fehler vergessen $\sqrt{-g}$ als ich den zweiten und dritten Term in der Handlung variierte. Ich werde nachrechnen und sehen.
1. Schreiben Sie zuerst die Aktion in den Einstein-Frame, die sich auf Ihre String-Frame-Metrik bezieht, wie z $G_{mn}=e^{\Phi/2} g_{mn}$ . Hier $G_{mn}$ sind Einstein-Frame-Metrik und andere ist Ihre übliche String-Frame-Metrik. 2. Schreiben Sie nun die Einstein-Gleichung, die nur der Einstein-Tensor auf der linken Seite und der Spannungstensor auf der rechten Seite der Gleichung ist. Alle Felder tragen zum Spannungstensor bei (Skalare und 3-Form).

Hypernova · Answer 1

Ich denke, das ist keine große Sache. Unter Berücksichtigung der Variation Ihrer Aktion in Bezug auf $\phi$ , diese beiden Begriffe $g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi$ Und $g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\phi$ sind eigentlich gleich.

Lassen Sie uns herausfinden

δ \int_{Ω} e^{- 2 ϕ} G^{μ v} \partial_{μ} ϕ \partial_{v} ϕ D v = 0,

$\delta\int_{\Omega}e^{-2\phi}g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi\,{\rm d}V=0,$ wo ich gehalten habe

d V = \sqrt{- g} d^{10} x

${\rm d}V=\sqrt{-g}\,{\rm d}^{10}x$ als invariantes Volumenelement. Wenden Sie auf diese Weise die Euler-Lagrange-Gleichung an (aber der Einfachheit halber in ihrer kovarianten Form, dh

\frac{\partial L}{\partial ϕ} = \nabla_{σ} (\frac{\partial L}{\partial (\nabla_{σ} ϕ)}),

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=\nabla_{\sigma}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\nabla_{\sigma}\phi\right)}\right),$ Wo

\nabla_{σ}

$\nabla_{\sigma}$ die kovariante Ableitung bezeichnet; und natürlich für den Skalar

ϕ

$\phi$ ,

\nabla_{σ} ϕ = \partial_{σ} ϕ

$\nabla_{\sigma}\phi=\partial_{\sigma}\phi$ , während für die Metrik

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ ,

\nabla_{σ} g^{μ ν} = 0

$\nabla_{\sigma}g^{\mu\nu}=0$ ) Zu

L = e^{- 2 ϕ} G^{μ v} \partial_{μ} ϕ \partial_{v} ϕ,

$\mathcal{L}=e^{-2\phi}g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi,$ und wir haben

\frac{\partial L}{\partial ϕ} = - 2 e^{- 2 ϕ} G^{μ v} \partial_{μ} ϕ \partial_{v} ϕ

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=-2e^{-2\phi}g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi$ ebenso gut wie

\frac{\partial L}{\partial (\nabla_{σ} ϕ)} = 2 e^{- 2 ϕ} G^{μ σ} \partial_{μ} ϕ .

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\nabla_{\sigma}\phi\right)}=2e^{-2\phi}g^{\mu\sigma}\partial_{\mu}\phi.$ Deshalb

\nabla_{σ} (\frac{\partial L}{\partial (\nabla_{σ} ϕ)}) = 2 e^{- 2 ϕ} (- 2 G^{μ σ} \partial_{μ} ϕ \partial_{σ} ϕ + G^{μ σ} \nabla_{μ} \nabla_{σ} ϕ) .

$\nabla_{\sigma}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\nabla_{\sigma}\phi\right)}\right)=2e^{-2\phi}\left(-2g^{\mu\sigma}\partial_{\mu}\phi\partial_{\sigma}\phi+g^{\mu\sigma}\nabla_{\mu}\nabla_{\sigma}\phi\right).$ Als Konsequenz,

ϕ

$\phi$ befriedigen muss

G^{μ σ} \partial_{μ} ϕ \partial_{σ} ϕ = G^{μ σ} \nabla_{μ} \nabla_{σ} ϕ .

$g^{\mu\sigma}\partial_{\mu}\phi\partial_{\sigma}\phi=g^{\mu\sigma}\nabla_{\mu}\nabla_{\sigma}\phi.$

So können Sie sehen, ob Sie die ersetzen $g^{\mu\sigma}\partial_{\mu}\phi\partial_{\sigma}\phi$ Begriff in der ursprünglichen Aktion von $g^{\mu\sigma}\nabla_{\mu}\nabla_{\sigma}\phi$ , und nehmen Sie die Variationsableitung von $g^{\mu\sigma}$ , erhalten Sie die $\nabla_{\mu}\nabla_{\sigma}\phi$ Laufzeit wie erwartet.

Hoffe das konnte dir helfen :-)

Ableitung von Bewegungsgleichungen der Supergravitation

Kenny H

Wakabaloola

Kenny H

Wakabaloola

Kenny H

Hkw

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