Die Integration beinhaltet die Ableitung der Delta-Funktion

Question

Die Integration beinhaltet die Ableitung der Delta-Funktion

Physik
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lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
Hausaufgaben und Übungen
Dirac-Delta-Verteilungen

Bowen Zhao

Dies erscheint bei der expliziten Berechnung des Pfadintegrals harmonischer Oszillatoren:

Beachten Sie zunächst, dass die zweite funktionale Ableitung der klassischen Aktion ist

\frac{δ^{2} S [X]}{δ X (T 1) δ X (T 2)} = - M (\frac{D^{2}}{D T_{1}^{2}} + ω^{2}) δ (T_{1} - T_{2})

$\frac{\delta^2 S[x]}{\delta x(t1)\delta x(t2)}=-m(\frac{d^2}{d t_1^2}+\omega^2)\delta (t_1-t_2)$ Erweitern Sie dann um den klassischen Weg herum

x_{c}

$x_c$ Ist

\begin{aligned} S [X_{C} + j] = S [X_{C}] + \frac{1}{2!} \int D T_{1} D T_{2} j (T_{1}) j (T_{2}) \frac{δ^{2} S [X]}{δ X (T 1) δ X (T 2)} \\ = S [X_{C}] - \frac{M}{2!} \int D T_{1} D T_{2} j (T_{1}) j (T_{2}) (\frac{D^{2}}{D T_{1}^{2}} + ω^{2}) δ (T_{1} - T_{2}) \end{aligned}

$\begin{align*} S[x_c+y]=S[x_c]+\frac{1}{2!}\int dt_1\,dt_2 y(t_1)y(t_2)\frac{\delta^2 S[x]}{\delta x(t1)\delta x(t2)}\\ =S[x_c]-\frac{m}{2!}\int dt_1\,dt_2 y(t_1)y(t_2)(\frac{d^2}{d t_1^2}+\omega^2)\delta (t_1-t_2) \end{align*}$ Wenden Sie die partielle Integration auf den Delta-Funktionsteil an, den ich bekommen habe

- \frac{M}{2} \int D T_{1} j (T_{1}) \frac{D^{2}}{D (T_{1})^{2}} j (T_{1})

$-\frac{m}{2} \int dt_1 y(t_1)\frac{d^2}{d(t_1)^2}y(t_1)$ während das Buch gibt

\frac{M}{2} \int D T_{1} (\frac{D j (T_{1})}{D T_{1}})^{2} .

$\frac{m}{2}\int dt_1 (\frac{d y(t_1)}{dt_1})^2.$

Irgendwelche Vorschläge für das, was ich falsch gemacht habe?

Antworten (1)

Die Integration beinhaltet die Ableitung der Delta-Funktion

AFG · Answer 1

Deine Rechnung ist richtig, mit einem Schritt mehr hättest du das Buchergebnis erhalten

- \frac{M}{2} \int D T_{1} j (T_{1}) \frac{D^{2} j (T_{1})}{D T_{1}^{2}} = - \frac{M}{2} \int D T_{1} [\frac{D}{D T_{1}} (j (T_{1}) \frac{D j (T_{1})}{D T_{1}}) - (\frac{D j (T_{1})}{D T_{1}})^{2}] = = \frac{M}{2} \int D T_{1} (\frac{D j (T_{1})}{D T_{1}})^{2}

$-\frac{m}{2}\int dt_1\,y(t_1)\frac{d^2y(t_1)}{d t_1^2}=-\frac{m}{2}\int dt_1\,\Bigg[\frac{d}{dt_1}\Bigg(y(t_1)\frac{dy(t_1)}{d t_1}\Bigg)-\Bigg(\frac{dy(t_1)}{dt_1}\Bigg)^2\Bigg]=\\=\frac{m}{2}\int dt_1\Bigg(\frac{dy(t_1)}{dt_1}\Bigg)^2$

Die Integration beinhaltet die Ableitung der Delta-Funktion

Bowen Zhao

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AFG

Bowen Zhao

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