Brechen der Diffeomorphismus-Invarianz nach Festlegen einer Hintergrundmetrik

Die Lagrangedichte für das Gravitationsfeld in Abwesenheit von Materie lautet wie folgt

L = 1 / k ∫ D X 4 G R ,
Wo k = G , G ist die Determinante der Metrik und R der Ricci-Skalar. Es ist möglich, eine Hintergrundmetrik wie z η u v und dann die Störungen untersuchen H u v drum herum
G u v = η u v + k H u v
Der Lagrange wird
L = L 0 + k L 1 + k 2 L 2 + . . . . . . .
was als effektive Feldtheorie von selbstwechselwirkenden Teilchen, den sogenannten Gravitonen, interpretiert werden kann. Nun, angesichts des Transformationsgesetzes von H u v , wie kann man sagen, dass die gesamte Lagrange-Funktion invariant ist, Reihenfolge für Reihenfolge, unter lokalen Diffeomorphismen? Natürlich ist die Symmetrie immer noch da, aber ich habe mich gefragt, ob es eine Art spontane Symmetriebrechung gibt, die mit dem Störfeld verbunden ist H u v und die Gruppe der Diffeomorphismen. Das Verfahren ähnelt dem SSB für das Higgs-Boson, wo sich die Lagrange-Funktion befindet
L = ∂ u ϕ ∂ u ϕ − M 2 ϕ 2 + λ ϕ 4
Diese Lagrange-Funktion ist invariant unter Parität ϕ , aber nach der Neudefinition um das Vakuum herum v , das Minimum des Potenzials, mit dem Sie es zu tun haben ϕ = v + δ ϕ und die Lagrange-Funktion in δϕ ist nicht mehr paritätsinvariant. Geschieht dies im vorherigen Beispiel nach dem Korrigieren eines Hintergrunds?

Siehe Schwartz' Quantenfeldtheorie und das Standardmodell , Abschnitt 8.7.2. (und vielleicht Abschnitt 22.4)
Ich habe nur eine teilweise Antwort auf meine vorherige Frage erhalten, daher habe ich versucht, mich besser zu erklären.
Ok, ich werde versuchen, mir Schwartz anzusehen. Wie auch immer, es scheint mir, dass das Festlegen einer Hintergrundmetrik die Diffeomorphismus-Invarianz der Lagrange-Funktion bricht.
Durch einen Störungsansatz wird die Metrik nicht festgelegt. Es definiert Größenordnungseffekte, und wenn Sie es richtig machen, definiert die erweiterte Reihe eine Metrik, und sie muss immer noch für jede Größenordnung unveränderlich sein. Die Störungserweiterung sollte nicht für ein starkes Gravitationsfeld über Ihrer flachen anfänglichen Metrik funktionieren. Das Problem könnte sein, wenn Sie nichts haben, um die Skala einzustellen
Ok, aber wie ist es möglich, mit einem störungsbasierten Ansatz rigoros zu beweisen, dass es kein Brechen der Invarianz von Diffeomorphismen gibt? Ich habe Ihre Aussage oft gelesen, aber ich habe nie einen formalen Beweis gesehen.
@Yildiz Sie können Symmetrien nicht durch Feldneudefinitionen verlieren. In diesem Fall die Neudefinition G = η + H ist linear; Dies macht die Symmetrie weniger offensichtlich / manifest, aber sie ist da.
@AccidentalFourierTransform Ich habe mich gefragt, ob es nach dieser Neudefinition eine Art SSB gibt G = η + H ; es ist nicht ersichtlich, dass die beschriebene Lagrange-Funktion von G und dann vorbei H ist invariant unter derselben Symmetriegruppe.
Dieser Beitrag wurde auf Meta diskutiert, siehe hier .

Antworten (2)

Nein, nach einer Feldneudefinition gibt es kein SSB. Denken Sie daran, dass SSB ein dynamischer Effekt ist. Sie können keine dynamischen Effekte auslösen, indem Sie Ihre Koordinaten ändern. Im skalaren Fall wird der SSB durch einen quadratischen Term mit "falschem Vorzeichen" ausgelöst, nicht durch die Änderung von Variablen ϕ = v + δ ϕ . Die neue Physik ist in den neuen Koordinaten transparenter; aber das SSB wird nicht durch das Wechseln in die neuen Koordinaten verursacht: die Symmetrie bricht, ob Sie es definieren ϕ = v + δ ϕ oder nicht.

Mit anderen Worten, die Physik ist koordinatenunabhängig. Verwenden G → η + H lässt die Physik invariant. Sie können sich auch ändern G → G 0 + G 1 , und wählen Sie einen beliebigen Hintergrund aus G 0 . Der flache Hintergrund ist praktisch, aber in der Literatur finden Sie auch Leute, die allgemeinere Hintergründe berücksichtigen; Zum Beispiel, G 0 kann als Metrik einer asymptotisch flachen Raumzeit aufgefasst werden. In jedem Fall wird die Dynamik durch die Lagrange-Funktion bestimmt, nicht durch die Koordinaten.

Ich verstehe, was Sie sagen, jedenfalls werden Sie mir zustimmen, dass ich, wenn ich ein System quantisiere, um mit Partikeln umzugehen, ein Minimum des Potenzials umgehen muss, und zwar während der Verwendung δ ϕ Ich muss aufpassen, weil es nicht stimmt, dass die Lagrange-Funktion paritätsinvariant ist, wenn sie in den Störungen "liest": Natürlich ist die anfängliche Symmetrie immer noch da, aber weniger ausgeprägt wie im Fall des Higgs-Bosons. Ich wollte fragen, ob das in meinem Fall auch passiert
Ja, ich stimme Ihnen zu: wenn in Bezug auf geschrieben G μ v Die Messgerätsymmetrie ist offensichtlich, aber wenn sie in Bezug auf geschrieben wird H μ v die Symmetrie ist nicht mehr offensichtlich. Die Symmetrie ist nicht offensichtlich, aber sie ist da. Die Analyse der Diff. Inv. des Einstein-Hilbert-Lagrangians wird im Buch von Schwartz ausführlich analysiert. Siehe auch General Covariance and Background Independence in Quantum Gravity , von M. Bärenz.
Ich habe mir Barenz und Schwartz angesehen, aber keine Antwort gefunden. Mein Hauptproblem ist folgendes: das Umwandlungsgesetz H u v ' = H u v + ∂ u ξ v − ∂ v ξ u ist es die naiv angewendete Diffeomorphismus-Symmetrie? H u v , oder ist es die verborgene Symmetrie, die richtige, die den Unterschied bewahrt. Invarianz für G u v ?
Im Higgs-Boson-Beispiel ist das dasselbe wie transformieren δ ϕ In − δ ϕ oder − δ ϕ − 2 v : Die erste ist die Parität, die naiv auf Störungen angewendet wird, die verletzt wird, die zweite ist die verborgene Symmetrie, die sicherstellt, dass die Parität für die Lagrange-Ein erhalten bleibt ϕ . Es könnte wie ein Wortspiel erscheinen, ist es aber nicht. Bitte lassen Sie es mich wissen, wenn Sie mich verstehen, und ich werde versuchen, mich klarer auszudrücken.
Sicherlich das Umwandlungsgesetz, für das ich geschrieben habe H u v ist nicht das Verborgene, weil es nur die Linearisierung des wahren Verborgenen ist H u v ' = G u v ' − η u v Wo G u v verwandelt sich auf die übliche Weise. Wenn dies der Fall ist, scheint die Diffeomorphismus-Invarianz verletzt zu sein.

Schematisch ist die Einstein-Hilbert-Aktion gegeben durch:

S ∼ ∫ D D X | det G μ v | R

für eine Metrik, G μ v . Nun, wie in den vorherigen Fragen und vom OP erwähnt, kann man das Feld wie folgt erweitern:

G μ v = η μ v + H μ v

und da die inverse Metrik eine unendliche Reihe in ist H μ v erhält man unendlich viele Terme in der in dieser Form ausgedrückten Einstein-Hilbert-Wirkung. Dieses Verfahren verstößt nicht gegen die Diffeomorphismus-Invarianz, da es sich um eine bloße Feldneudefinition handelt und wir alle Terme kennen, die summiert werden müssen S .

Wir können jede Metrik im Formular ausdrücken η μ v + H μ v , es ist so trivial wie das Ausdrücken eines Skalars ϕ in Form von zwei Skalaren, von denen wir einen völlig frei wählen können, z ϕ = η + H .

Ich stimme zu, dass nach der Neudefinition des Feldes eine Symmetrie bestehen bleibt, sie könnte jedoch weniger offensichtlich sein. Dasselbe passiert mit dem spontanen Symmetriebruch für das Higgs-Boson: der Lagrange hat es ϕ als Feld und ist unter Parität unveränderlich, aber nach der Neudefinition ϕ = v + δ ϕ , die Lagrange-Funktion in δ ϕ ist nicht paritätsinvariant: Die Symmetrie existiert natürlich immer noch, ist aber verborgen. Passiert das in unserem Fall? Nicht nur das: im Beispiel des Higgs-Bosons v war das Minimum an Potential, aber hier haben wir kein Potential, also warum wählen η u v und nicht eine andere Metrik?
Natürlich, η u v ist eine natürliche Wahl als Hintergrund, ohnehin gibt es kein dynamisches Verfahren, das es als Hintergrund hergibt. Es wird nicht als Minimum von einem Potential in unserem Lagrange abgeleitet, im Gegensatz zum Vakuum v für das Higgs-Boson und andere Felder.
@Yildiz Es ist einfach praktisch, sich zu erweitern η μ v . In der Gravitationsstörungstheorie expandieren wir tatsächlich um eine allgemeine Metrik herum, G μ v = G 0 μ v + H μ v . Dinge vereinfachen für G 0 μ v = η μ v .
Sicherlich ist es in vielen Situationen praktisch, aber normalerweise wird diese Feld-Redefinition in vielen Büchern (zB Schwartz) mit der Behauptung begleitet, dass GR nicht renormierbar ist und dass wir, um dieses Problem zu lösen, eine UV-Vervollständigung finden müssen.
An dieser Behauptung ist nichts auszusetzen, aber ich würde auch einen anderen Gesichtspunkt anbieten: vielleicht das Auswahlverfahren η u v einen Hintergrund hat, ist einfach falsch, nicht dynamisch, und dies könnte darauf hindeuten, dass wir das Ganze quantisieren müssen G u v um eine konsistente Theorie zu erhalten. Ich würde sagen, dass diese unterschiedliche Sichtweise auf das Problem eine Grundlage für die Trennung zwischen Stringtheorie und LQG-Ansätzen zur Quantengravitation ist.
@Yildiz Die Trennung zwischen Stringtheorie und LQG hat damit nichts zu tun, da die Stringtheorie keinen Versuch unternimmt, eine Theorie von zu quantifizieren G μ v ; Die Einstein-Schwerkraft entsteht als Renormierungsgruppenfluss der Zeichenfolge in einem nichtlinearen Sigma-Modell.
Ich weiß, dass die Stringtheorie nicht versucht zu quantisieren G u v und dies ist die Grundlage seines perturbativen Ansatzes. LQG hat einen anderen Ansatz: Es quantisiert die Metrik unter Verwendung der kanonischen Quantisierung, was zu einem nicht-perturbativen Ansatz führt. Ich glaube, auf der Grundlage dieses Unterschieds gibt es das, was ich gesagt habe.
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