Lagrangian für Euler-Gleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Der Spannungsenergietensor für relativistischen Staub

T μ v = ρ v μ v v
folgt aus der Handlung
S M = − ∫ ρ c v μ v μ − g d 4 x = − ∫ c p μ p μ d 4 x
wo p μ = ρ v μ − g ist die 4- Impulsdichte . Man verwendet die Formel:
T μ v = − 2 − g δ S M δ g μ v ( 1 )
Und die Ableitung ist zum Beispiel in dieser Frage angegeben, die ich zuvor gestellt habe (oder in dem darin zitierten Dirac-Buch): Lagrangeian for Relativistic Dust Derivation Questions

Frage 1: Gibt es einen Lagrange-Operator (oder eine Aktion), der den folgenden Spannungsenergietensor für eine perfekte Flüssigkeit ergibt:

T μ v = ( ρ + p c 2 ) v μ v v + p g μ v
?

Frage 2: Was ist mit den Navier-Stokes-Gleichungen?

Frage 3: Wenn die Antwort auf eine der obigen Fragen nein ist, kann die Gleichung (1) immer noch als Definition des Spannungsenergietensors verwendet werden? Oder sollte man eher eine Definition verwenden, dass der Spannungsenergietensor das ist, was auf der rechten Seite der Einstein-Gleichungen erscheint (auch wenn es nicht aus einer Aktion abgeleitet werden kann)?

Antworten (1)

  1. Lieber Ondřeji, eine gute Frage, aber ein Teil der Antwort ist, dass Ihre Gleichung für die Flüssigkeit unterbestimmt ist. Es behandelt p , ρ als unabhängige Variablen. Aber das physikalische System weiß nur, wie es sich verhalten soll, wenn man auch eine Zustandsgleichung, also eine Funktion, einsetzt p = p ( ρ ) oder p = p ( ρ , v → ) . Beachten Sie, dass Ihr Ansatz für den Spannungs-Energie-Tensor von 6 Parametern abhängt, 4 davon in v μ und p und ρ , was die meisten der 10 allgemeinen Parameter in einem generischen Spannungs-Energie-Tensor sind. Was Sie also geschrieben haben, ist nur eine etwas spezielle, aber nicht zu spezielle Untergruppe von Stress-Energie-Tensoren. Wenn Sie jedoch eine Aktion für einige Variablen schreiben, sagt Ihnen das Prinzip der kleinsten Aktion immer sofort, wie sich alle Freiheitsgrade entwickeln, und Sie haben die Gleichungen nicht angegeben, sodass Sie keine Aktion schreiben können. Für den Staub tritt dieses Problem nicht wirklich auf, da sich der Staub entlang der Geodäten bewegt, was wahrscheinlich daraus folgt δ S = 0 , zu.

  2. Für die Navier-Stokes-Gleichungen gibt es keine Lagrangedichte, weil sie die Viskosität, also die Energiedissipation, beinhalten, und für solche irreversiblen Systeme mit reibungsähnlichen Termen kann man keine grundlegende Beschreibung auf der Grundlage der Wirkung schreiben. Man kann jedoch eine verallgemeinerte Beschreibung dieser Art finden, "stochastische Beschreibung der kleinsten Aktion", die eine zusätzliche Integration über Zufallsvariablen aufweist, siehe zB http://arxiv.org/abs/0810.0817

  3. Ihre beiden "Definitionen" des Stress-Energie-Tensors sind völlig gleichwertig. Wenn Sie Einsteins Gleichungen aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung ableiten, ist die Abhängigkeit von den Ableitungen des metrischen Tensors nur ein Vielfaches von R , dann enthält die rechte Seite der Einstein-Gleichungen genau die Variation von S in Bezug auf den metrischen Tensor. Man kann nicht sagen, dass einer von ihnen besser ist als der andere: Sie sind dasselbe, wann immer eine Aktion existiert. Wenn eine Aktion nicht existiert, nun, Sie können den Stress-Energie-Tensor immer noch als die rechte Seite von Einsteins Gleichungen definieren, aber das Fehlen der "Variationsformel" für den Tensor ist meistens nur auf Unwissenheit zurückzuführen, weil es einen zugrunde liegenden gibt Lagrange für jede interessante Theorie (an Gravitation gekoppelte Materie) in d = 4 . Lassen Sie mich auch erwähnen, dass es eine andere Definition eines Spannungs-Energie-Tensors gibt, eine, die als (kovariantisierter) Noether-Strom aus raumzeitlichen Translationssymmetrien in der Grenze der verschwindenden Schwerkraft erhalten wird, dh eine Definition, die sich auf das Erhaltungsgesetz und Symmetrien bezieht. Sie sind normalerweise dasselbe wie die Variation, die Sie geschrieben haben, wenn die Variation gut definiert ist.

Hinweis: Der kanonische Noether-Spannungsenergietensor für elektromagnetische Felder ist nicht symmetrisch und man muss einen totalen Ableitungsterm hinzufügen ∂ a K a μ v mit K a μ v = F μ a EIN v (der neue Tensor bleibt also erhalten), dann erhält man genau den gleichen Tensor wie aus Gleichung (1). Aber dieser Trick erscheint mir ziemlich willkürlich, daher gefällt mir persönlich die Formel (1) am besten, die die rechte Seite der Einstein-Gleichung ist (unter der Annahme der Hilbert-Aktion, wie Sie geschrieben haben), solange wir die Aktion für kennen Der Grund.
Frage: Wenn wir die ideale Gaszustandsgleichung hinzufügen, gibt es eine Wirkung? Ich kann nur die nichtrelativistischen Gleichungen formulieren: p = ρ R T , wo e = T c v , wo E = ρ e + 1 2 ρ v 2 . Hier drin e ist die innere Energie, E ist die Gesamtenergie (ohne Ruhemassenenergie), T ist Temperatur, R die Gaskonstante und c v ist die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen.
Lieber Ondřej, bei der idealen Gasgleichung hast du eine neue Variable und eine neue Bedingung hinzugefügt, also nichts geändert. Sie können es als eine Definition von ansehen T und es ändert nichts daran, dass es unbestimmte Dinge gibt. Wenn Sie gemacht haben T mit lokaler Reibung usw. zunehmen, dann stehen Sie vor den gleichen Irreversibilitätsproblemen wie bei Viskosität, und es wird keine "normale" Aktion geben. Ihre Präferenz für den durch Variationen definierten Tensor ist legitim, obwohl es sich um eine subjektive Wahl handelt. Die Noetherströme können in verschiedenen Kontexten immer noch die primären Dinge sein und die Symmetrie des Tensors die sekundäre.
Lagrangian für Euler-Gleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie
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