Lagrange für relativistische Staubableitungsfragen

Question

Lagrange für relativistische Staubableitungsfragen

Physik
Metrik-Tensor
generelle Relativität
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip
Stress-Energie-Impuls-Tensor

Ondřej Čertík

In den meisten GR-Lehrbüchern leitet man den Spannungsenergietensor für relativistischen Staub ab:

T_{μ v} = ρ v_{μ} v_{v}

$T_{\mu\nu} = \rho v_\mu v_\nu$ Und dann setzt man das auf die rechte Seite der Einstein-Gleichungen. Ich möchte dies aus einer Aktion ableiten. Ich habe alle Standard-GR-Lehrbücher durchgelesen, und das einzige, das darüber spricht, ist die Allgemeine Relativitätstheorie von P. Dirac. Wenn Sie das Buch nicht haben, lassen Sie mich die Herleitung hier schnell wiedergeben. Die Wirkung für den relativistischen Staub ist:

S_{M} = - \int ρ c \sqrt{v_{μ} v^{μ}} \sqrt{| det g |} d^{4} x = - \int c \sqrt{p_{μ} p^{μ}} d^{4} x

$S_M = -\int \rho c \sqrt{v_\mu v^\mu} \sqrt{ |\det g| } d^4 x = -\int c \sqrt{p_\mu p^\mu} d^4 x$ wo

p^{μ} = ρ v^{μ} \sqrt{| det g |}

$p^\mu=\rho v^\mu \sqrt{ |\det g| }$ ist die 4- Impulsdichte . Nun variieren wir bzgl

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ wie folgt:

δ S_{M} = - δ \int c \sqrt{p_{μ} p^{μ}} d^{4} x =

$\delta S_M = - \delta \int c \sqrt{{p}_\mu {p}^\mu} d^4 x =$

= - \int c \frac{δ (g^{μ v} p_{μ} p_{v})}{2 \sqrt{p_{a} p^{a}}} d^{4} x =

$= - \int c {\delta(g^{\mu\nu} {p}_\mu {p}_\nu) \over 2\sqrt{{p}_\alpha {p}^\alpha}} d^4 x =$

= - \int c \frac{p_{μ} p_{v}}{2 \sqrt{p_{a} p^{a}}} δ (g^{μ v}) d^{4} x =

$= - \int c { {p}_\mu {p}_\nu \over 2\sqrt{{p}_\alpha {p}^\alpha}} \delta(g^{\mu\nu}) d^4 x =$

= - \int c \frac{ρ v_{μ} ρ v_{v} {\sqrt{| det g |}}^{2}}{2 ρ c \sqrt{| det g |}} δ (g^{μ v}) d^{4} x =

$= - \int c { \rho v_\mu \rho v_\nu \sqrt{ |\det g| }^2 \over 2 \rho c \sqrt{ |\det g| } } \delta(g^{\mu\nu}) d^4 x =$

= - \int \frac{1}{2} ρ v_{μ} v_{v} δ (g^{μ v}) \sqrt{| det g |} d^{4} x

$= - \int {1\over2} \rho v_\mu v_\nu \delta(g^{\mu\nu}) \sqrt{ |\det g| } d^4 x$ Daraus berechnen wir den Spannungsenergietensor unter Verwendung der Standard-GR-Formel dafür:

T_{μ v} = - \frac{2}{\sqrt{| det g |}} \frac{δ S_{M}}{δ g^{μ v}} =

$T_{\mu\nu} = - {2\over\sqrt{ |\det g| }}{\delta S_M\over\delta g^{\mu\nu}} =$

= - \frac{2}{\sqrt{| det g |}} (- \frac{1}{2} ρ v_{μ} v_{v} \sqrt{| det g |}) =

$= - {2\over\sqrt{ |\det g| }} \left( -{1\over2} \rho v_\mu v_\nu \sqrt{ |\det g| } \right)=$

= ρ v_{μ} v_{v}

$= \rho v_\mu v_\nu$

Wenn wir in Bezug auf variieren $x^\mu$ , erhalten wir die geodätische Gleichung (die Berechnung ist langwierig, siehe zB hier , oder das Dirac-Buch). Bei Bedarf erläutere ich gerne die obigen Ableitungen. Nun meine Fragen:

1) Warum steht das nicht in jedem GR-Lehrbuch? Gibt es ein Problem mit der Ableitung?

2) Aus dieser Aktion folgt die geodätische Gleichung $S_M$ . Die Standardmethode zum Ableiten der geodätischen Gleichung besteht darin, die Eigenzeit zu maximieren

τ = \int d τ = \int \sqrt{- \frac{1}{c^{2}} d s^{2}} = \int \sqrt{- \frac{1}{c^{2}} g_{μ v} d x^{μ} d x^{v}} .

$\tau = \int d \tau = \int \sqrt{-{1\over c^2} d s^2} = \int \sqrt{-{1\over c^2} g_{\mu\nu} d x^\mu d x^\nu} .$ Gibt es da einen Zusammenhang

τ

$\tau$ und

S_{M}

$S_M$ da uns beide die gleiche geodätische Gleichung geben?

3) Ist es richtig, einfach zu sagen, dass alle GR für relativistischen Staub (ohne Elektromagnetismus) aus dieser Aktion folgen:

S = \frac{c^{4}}{16 π G} \int R \sqrt{| det g_{μ v} |} d^{4} x - \int c \sqrt{p_{μ} p^{μ}} d^{4} x

$S = {c^4\over 16\pi G} \int R \sqrt{ |\det g_{\mu\nu}| } d^4 x -\int c \sqrt{p_\mu p^\mu} d^4 x$ wenn in Bezug auf variiert

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ es gibt die Einstein-Gleichungen mit den

T_{μ ν} = ρ v_{μ} v_{ν}

$T_{\mu\nu} = \rho v_\mu v_\nu$ Tensor auf der rechten Seite, wenn in Bezug auf variiert

x^{μ}

$x^\mu$ es gibt uns die geodätische Gleichung (für jedes Staubteilchen).

4) Warum müssen wir die verstecken $\sqrt{ |\det g_{\mu\nu}| }$ in der 4-Impulsdichte und variiere sie nicht? Dirac sagt, dass es daran liegt $\rho$ und $v^\mu$ sind beim Variieren keine unabhängigen Größen, aber ich verstehe das Argument nicht.

5) Der Standardweg besteht darin, die Hilbert-Aktion, die Wirkung für das Elmag-Feld, den Spannungsenergietensor für Staub zu verwenden und die geodätische Gleichung als Erhaltung des Spannungsenergietensors abzuleiten, die aus der Erhaltung des Einstein-Tensors folgt. Wie hängt dieser Ansatz mit dem oben Gesagten zusammen? Ist es physikalisch nicht besser, einfach die Gesamtwirkung zu postulieren und daraus alles abzuleiten?

Hinweis: Dirac zeigt, wie man Elektromagnetismus einbezieht, indem man einfach die Standardaktion dafür verwendet und das obige Verfahren dann das richtige Elmag ergibt. Tensor auf der rechten Seite der Einstein-Gleichungen und die Lorentz-Kraft auf der rechten Seite der geodätischen Gleichung sowie die Maxwell-Gleichungen für das Elmag-Feld.

Jon

Ich widerspreche weiterhin Ihrer Behandlung des Stress-Energie-Tensors. Du solltest sachlich schreiben

T_{μ v} := \frac{- 2}{\sqrt{- g}} \frac{δ (\sqrt{- g} L_{M})}{δ g^{μ v}} = - 2 \frac{δ L_{M}}{δ g^{μ v}} + g_{μ v} L_{M}

$T_{\mu\nu}:= \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}$ und man sollte den Begriff halten

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ .

Ondřej Čertík

Ihre Definition ist genau die gleiche wie meine, weil

S_{M} = \int \sqrt{- g} L_{M} d^{4} x

$S_M = \int \sqrt{-g}\mathcal{L}_M d^4 x$ . Daher müssen wir für den Spannungsenergietensor genau die gleichen Ergebnisse erhalten. Welchem Ergebnis (oder Berechnung) stimmen Sie nicht zu?

Ondřej Čertík

(Ich habe den Hauptbeitrag bearbeitet, um das klarzustellen

S_{M}

$S_M$ ist die Aktion, nicht Lagrange.)

Ron Maimon

@Ondrej: Ihre Frage ist in Ordnung, aber im Allgemeinen möchten Sie separate Fragen separat stellen. In diesem Fall hat nur Frage 4 einen etwas anderen Charakter als die anderen Fragen und hätte eine eigene Frage sein können.

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Lagrange für relativistische Staubableitungsfragen

Ich widerspreche weiterhin Ihrer Behandlung des Stress-Energie-Tensors. Du solltest sachlich schreiben $T_{μ v} := \frac{- 2}{\sqrt{- g}} \frac{δ (\sqrt{- g} L_{M})}{δ g^{μ v}} = - 2 \frac{δ L_{M}}{δ g^{μ v}} + g_{μ v} L_{M}$ $T_{\mu\nu}:= \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}$ und man sollte den Begriff halten $\sqrt{-g}$ .
Ihre Definition ist genau die gleiche wie meine, weil $S_M = \int \sqrt{-g}\mathcal{L}_M d^4 x$ . Daher müssen wir für den Spannungsenergietensor genau die gleichen Ergebnisse erhalten. Welchem Ergebnis (oder Berechnung) stimmen Sie nicht zu?
(Ich habe den Hauptbeitrag bearbeitet, um das klarzustellen $S_M$ ist die Aktion, nicht Lagrange.)
@Ondrej: Ihre Frage ist in Ordnung, aber im Allgemeinen möchten Sie separate Fragen separat stellen. In diesem Fall hat nur Frage 4 einen etwas anderen Charakter als die anderen Fragen und hätte eine eigene Frage sein können.

Ron Maimon · Answer 1

Die Staubspannungsenergie ist eine Summe unabhängiger Partikelspannungsenergien. Jedes Teilchen geht mit einer 4-Geschwindigkeit einher $v^\mu$ , und das bedeutet, dass es ein Momentum trägt $mv^\mu$ in die Richtung $v^\mu$ , oder ein implusiver Spannungstensor (Impulsfluss) von $T^{\mu\nu}=mv^\mu v^\nu$ am Ort des Teilchens (dies muss mit einer Delta-Funktion am Ort des Teilchens multipliziert werden). Das Addieren dieses Spannungstensorbeitrags über eine kontinuierliche Massenverteilung von Partikeln reproduziert den Spannungstensor eines Staubs, und Sie können es herausfinden, indem Sie nur darüber nachdenken, wie viel Impuls die Partikel des Staubs in jeder Zeiteinheit über eine unendlich kleine Oberfläche tragen. Das ist also physikalisch eine sehr einfache Sache.

Frage 1: Warum steht das nicht in anderen Büchern als Diracs?

Im Allgemeinen machen die Leute in allen GR-Büchern eine ähnliche Ableitung, aber sie machen es Partikel für Partikel, anstatt alle Partikel im Staub zu summieren. Die Partikelaktion ist die Länge der Weltlinie, das Setzen der Variation auf Null ergibt die Bewegungsgleichung (die Berechnung ist vollständig parallel zu Diracs, da jedes Partikel im Staub eine Aktion hat, die unabhängig gleich seiner Weltlinienlänge ist) und suchen bei der metrischen Ableitung ergibt den Spannungstensor-Quellterm für Einstein-Gleichungen. Es ist also wirklich dasselbe wie ein einzelnes Teilchen.

Der wahrscheinliche Grund, warum Dirac mit der Verwendung einer Einzelpartikelaktion nicht zufrieden ist, liegt darin, dass GR nicht mit Punktquellen kompatibel ist. Eine Punktquelle der Schwerkraft ist inkonsistent, sie befindet sich innerhalb ihres eigenen Schwartschild-Horizonts. Eine moderne Sichtweise besteht darin, die Punktquelle als ein unendlich kleines Schwarzes Loch zu betrachten, aber dann müssen Sie feststellen, dass die Wirkung eines Schwarzen Lochs als die Länge seiner ungefähren Weltlinie angesehen werden kann, was eine komplizierte Berechnung der Vakuumgleichung ist. Das Problem wird umgangen, wenn Sie eine verschmierte Stress-Energie-Flüssigkeit wie in einem Staub haben, also fühlte sich Dirac wahrscheinlich wohler, es auf diese Weise abzuleiten, obwohl es einige kleinere zusätzliche Komplikationen mit sich bringt.

Frage 2: Zusammenhang zwischen der Staubwirkung und der Bogenlängenwirkung

Die Bogenlängenwirkung für ein Punktteilchen ist

S (X) = \int d τ | \dot{X} (τ) | = \int d^{4} x \int d τ δ^{4} (x - X (τ)) \sqrt{{\dot{X}}^{μ} (τ) {\dot{X}}^{v} (τ) g_{μ v} (X (τ))}

$S(X) = \int d\tau |\dot{X}(\tau)| = \int d^4x \int d\tau \;\;\delta^4(x-X(\tau)) \sqrt{\dot{X}^\mu(\tau)\dot{X}^\nu(\tau)g_{\mu\nu}(X(\tau))}$

Wobei der zweite Ausdruck nur eine formale Integration über den Raum ist, die auf die Teilchenbahn fällt, um zu beschreiben, wo sich diese Aktion befindet.

Beschriften Sie jedes Staubpartikel mit seiner Ausgangsposition $\sigma$ , die entlang einer anfänglichen Datenoberfläche variiert. Für jede $\sigma$ , betrachte die ganzzahligen Linien des Vektorfeldes $V^\mu$ , und rufe das an $x^\mu(\sigma,\tau)$ , die Staubbahnen. Die Staubwirkung können Sie als Summe der einzelnen Teilchenwirkungen schreiben

S = \int d^{4} x \int d^{3} σ ρ (σ) S (x^{μ} (a, τ)

$S = \int d^4x \int d^3\sigma \rho(\sigma) S(x^\mu(a,\tau)$

Wobei S(a) die Bogenlängenwirkung für jedes Teilchen ist.

Beachten Sie, dass die physikalische Raum-Zeit-Dichte $\rho(x)$ hängt mit der anfänglichen Hyperflächendichte zusammen $\rho(\sigma)$ von

ρ (x) = \int d σ d τ ρ (σ) δ^{4} (x - X (σ, τ))

$\rho(x) = \int d\sigma d\tau \rho(\sigma) \delta^4(x-X(\sigma,\tau))$

Wenn Sie die loswerden $(\tau,\sigma)$ Integrale in der Aktion unter Verwendung der Delta-Funktionen erhalten Sie Diracs Aktion zurück. Variiert man die einzelnen Staubbahnen, erhält man die geodätische Gleichung. Wenn Sie variieren $g_{\mu\nu}$ Sie erhalten die einzelnen Partikelspannungen, die zur Gesamtspannungsenergie beitragen. So etwas taucht in allen modernen GR-Büchern auf.

Die Anzahl der Teilchen $\rho(a)$ darf in der Lagrange-Formulierung nicht variiert werden – die Gesamtzahl der Partikel im Staub muss erhalten bleiben. Man kann also die Bahnen variieren, aber nicht die Anzahl der Teilchen.

Frage 3: Ist Diracs Aktion vollständig für Staub/Schwerkraft?

Es gibt die Staubbewegungsgleichung und die Einstein-Gleichungen mit der richtigen Staubspannungsenergie, also ja.

Frage 4: Was hat es mit dem Variieren auf sich? $g_{\mu\nu}$ halten $P^\mu$ Fest?

Dies ist ein wenig subtiler --- wenn Sie variieren $g_{\mu\nu}$ Sie variieren sowohl das Volumen der Raumzeit als auch die lokale Metrik, aber Sie müssen die Variation durchführen, indem Sie die Anzahl der Teilchen festhalten. Wenn Sie variieren $g_{\mu\nu}$ bei konstant $\rho$ Sie erhalten die falsche Variation --- Sie verringern die Anzahl der Teilchen, wenn Sie das Gesamtvolumen der Raumzeit verringern. Das bedeutet, dass $\rho$ muss sich als Dichte umwandeln, wenn Sie variieren $g$ .

Um den Umgang mit Dichte zu vermeiden, nutzt Dirac die Tatsache, dass die $P^{\mu}$ ist eine lokal erhaltene Größe ohne Schwerkraft, sodass sie sich als einfacher Vektor transformiert. Die Dichtevariation von $\rho$ wird durch den Faktor absorbiert $\sqrt{g}$ in die Definition aufgenommen $P$ . Es gibt also keine zusätzliche Lautstärkevariation für $P^{\mu}$ . Sie können es ohne Diracs Vereinfachung tun, und Sie erhalten die gleiche Antwort, aber es ist etwas mehr Algebra und weniger konzeptionell aufschlussreich.

Frage 5: Wie leite ich alles am besten ab?

Ich denke nicht, dass der Weg des Wirkungsprinzips unbedingt besser ist, weil die makroskopische Gleichung, die einen Staub beschreibt, nicht aus einer Lagrange-Funktion folgen muss. Sie können Dissipation haben. Wenn Sie also eine dissipierende Navier-Stokes-Flüssigkeit mit der Schwerkraft koppeln, erwarten Sie immer noch eine gute Bewegungsgleichung mit Viskosität, aber Sie erwarten keine Lagrange-Beschreibung, wenn die Viskosität ungleich Null ist.

Die Spannungen aufgrund der Viskosität sind nicht Lagrange, aber sie gravitieren immer noch, und es gibt keinen Grund, bestimmte Spannungen auszulassen, weil sie nicht grundlegend sind. Zu Diracs Zeiten gab es Bestrebungen, die klassischen Theorien so vollständig wie möglich zu machen, weil sie Leitfäden für eine vollständigere Theorie waren. Dirac hätte also vielleicht ein Modell in Betracht ziehen wollen, bei dem das Elektron zum Beispiel ein Kontinuum-Staubmodell ist, und dann ist es wichtig, eine Lagrange-Funktion zu haben. Die modernen Theorien der Quantengravitation sind so weit fortgeschritten, dass es meiner Meinung nach nicht mehr notwendig ist, so pedantisch zu sein, und leicht widersprüchliche Dinge wie das Punktteilchen in Zwischenschritten in Ordnung sind. Es gibt also keinen Grund, für solche Dinge einen Lagrange-Ansatz zu bevorzugen, obwohl es schön ist, wenn es ihn gibt.

Ron, vielen Dank für diese erstaunliche Antwort! Ich werde vorsichtig vorgehen und einige Zeit darüber nachdenken, bevor ich weitere Fragen stelle. Aber ich habe jetzt eine: Ich denke, dass die dissipierenden Navier-Stokes-Gleichungen in gewissem Sinne nur eine Annäherung an die mikroskopischen Phänomene sind, daher ist es in Ordnung, dass sie nicht aus einer Lagrange-Funktion abgeleitet werden können. Aber die fundamentalen Wechselwirkungen (auf klassischer Ebene) scheinen doch von einer Lagrange-Funktion abzuleiten, oder?
@Ondrej: Im Allgemeinen solltest du warten, bevor du eine Antwort akzeptierst, es könnten bessere Antworten kommen. Dieses Zeug ist für mich nicht originell, also gibt es keinen Grund zu loben. Der Punkt, den ich machen wollte, ist, dass Staub genauso nicht fundamental ist wie dissipative Flüssigkeiten. Wenn Sie also damit einverstanden sind, dass Navier Stokes nicht Lagrange ist, warum nicht Staub? Wenn Sie das Standardmodell mit GR koppeln, addieren Sie einfach die Lagrange-Operatoren, und es gibt keine offensichtlichen Einschränkungen in Bezug auf die Schwerkraft. Für die Stringtheorie, die eine grundlegendere Theorie ist, braucht man Konsistenz, und es gibt starke Einschränkungen hinsichtlich der erlaubten Materie.

Lagrange für relativistische Staubableitungsfragen

Ondřej Čertík

Jon

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Frage 1: Warum steht das nicht in anderen Büchern als Diracs?

Frage 2: Zusammenhang zwischen der Staubwirkung und der Bogenlängenwirkung

Frage 3: Ist Diracs Aktion vollständig für Staub/Schwerkraft?

Frage 4: Was hat es mit dem Variieren auf sich? $g_{\mu\nu}$ halten $P^\mu$ Fest?

Frage 5: Wie leite ich alles am besten ab?

Ondřej Čertík

Ron Maimon

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Frage 1: Warum steht das nicht in anderen Büchern als Diracs?

Frage 2: Zusammenhang zwischen der Staubwirkung und der Bogenlängenwirkung

Frage 3: Ist Diracs Aktion vollständig für Staub/Schwerkraft?

Frage 4: Was hat es mit dem Variieren auf sich?gμ ν g μ v g_{\mu\nu}haltenPμ P μ P^\muFest?

Frage 5: Wie leite ich alles am besten ab?

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Ron Maimon

Frage 4: Was hat es mit dem Variieren auf sich? $g_{\mu\nu}$ halten $P^\mu$ Fest?