Beweisen Sie, dass Hintergrundunabhängigkeit und Diffeomorphismusinvarianz einer Raumzeittheorie äquivalent sind

Die Gleichungen einer Theorie können im Allgemeinen aus einer Aktion zusammen mit einem Prinzip der kleinsten Wirkung ($\delta S=0$). Die Aktion ist gegeben durch:

Wo$S$ist eine Funktion von$f_1, f_2, ...$, und ist keine Funktion von$g_1, g_2, ...$. Ich nenne die$g_1, g_2, ...$Hintergrundobjekte. Ich habe eine Theorie definiert, die unabhängig von der Handlung ist$S$verwendet, um seine Feldgleichungen abzuleiten, kann nicht so definiert werden, dass sie von keinem Objekt abhängt, für das es kein Funktional ist (dh es hat keine Hintergrundobjekte$g_1, g_2, ...$).

Ein Modell einer Theorie ist eine geordnete Menge$<$$M, A_1, A_2, ...$$>$was eine mögliche Lösung der Gleichungen der Theorie darstellt. Eine Theorie ist diffeomorphismusinvariant, wenn für jede Lösung der Gleichungen der Theorie$<$$M, A_1, A_2, ..., A_n, \rho$$>$,$<$$M, f^{\ast}A_1, f^{\ast}A_2, ..., f^{\ast}A_n, f^{\ast}\rho$$>$ist auch eine Lösung für jeden Diffeomorphismus$f$($f^{\ast}A_i$ist der Mitschlepper unter$f$von$A_i$). Der$A_1, A_2, ...$sind besondere Werte der$f_1, f_2, ... g_1, g_2, ...$welche die Gleichungen der Theorie lösen (d.h. für welche$\delta S=0$für unendlich kleine Variationen um die$A_1, A_2, ...$Werte).

Ich möchte zeigen, dass die Hintergrundunabhängigkeit und die Diffeomorphismus-Invarianz einer Theorie äquivalent sind (dh dass eine Theorie genau dann Hintergrund-unabhängig ist, wenn sie diffeomorphismus-invariant ist). Hier ist mein aktueller Versuch, aber ich bin mir nicht sicher, ob es sich um einen strengen Beweis handelt (oder ob diese Aussage überhaupt definitiv wahr ist!):

Es ist klar, dass, wie ich die Begriffe definiert habe, eine Theorie, die nicht hintergrundunabhängig ist, im Allgemeinen nicht diffeomorphismusinvariant sein wird, weil es ein allgemeiner Diffeomorphismus ist$f$lässt die absoluten Hintergrundobjekte nicht unverändert. Dies wird nur für die Unterklasse von Diffeomorphismen der Fall sein, für die$f^{\ast}A_i=A_i$für alle Hintergrundobjekte$A_i$. Vielleicht weniger offensichtlich ist die Tatsache, dass eine hintergrundunabhängige Theorie diffeomorphismusinvariant sein wird. Um dies zu sehen, nehmen Sie ein Modell einer hintergrundunabhängigen Theorie$<$$M, A_1, A_2, ..., A_n, \rho$$>$(wo alle$A_i$dürfen keine Hintergrundobjekte sein) und etwas Diffeomorphismus$h$. Die Aktion$S$verwendet, um die Feldgleichungen der Theorie abzuleiten, ist gegeben durch:

Wo$A_1, A_2, ..., A_n, \rho$sind besondere Werte von$f_1, f_2, ...$das befriedigt$\delta S=0$. Das bedeutet, dass der Wert von$S$ändert sich nicht für infinitesimale Variationen um die$A_1, A_2, ..., A_n, \rho$Werte. Seit$f^{\ast}A_i(f(p)) \equiv A_i(p)$, und da$S$ist durch ein Integral über die gesamte Mannigfaltigkeit gegeben$M$,$S[A_1, A_2, ...]=S[f^{\ast}A_1, f^{\ast}A_2, ...]$. Da außerdem ein Diffeomorphismus glatt ist, ist eine infinitesimale Änderung an$f^{\ast}A_i$entspricht einer infinitesimalen Veränderung$A_i$, und damit der Wert von$S$ändert sich nicht für infinitesimale Variationen um$f^{\ast}A_1, f^{\ast}A_2, ..., f^{\ast}A_n, f^{\ast}\rho$entweder, und so diese Werte für$f_1, f_2, ...$auch befriedigen$\delta S=0$.

Hier wäre jede Hilfe sehr willkommen!