Energie und Impuls als partielle Ableitungen der Wirkung auf der Schale in der Feldtheorie

Ja, dies wird z. B. in Lit. 2 berücksichtigt. 1. In der Feldtheorie ist der Ausgangspunkt die Off-Shell-Aktion$^1$

$$\tag{1} I[\phi; t_f,t_i] ~:=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt~\int_{\Sigma} d^3x~ {\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t) ,$$

Wo$t_i$Und$t_f$bezeichnen Anfangs- bzw. Endzeiten. Wir setzen nun geeignete Randbedingungen (BC) auf, zB Dirichlet BC

$$\tag{2} \phi^{\alpha}(x,t_i)~=~\phi^{\alpha}_i(x) \qquad \text{and}\qquad \phi^{\alpha}(x,t_f)~=~\phi^{\alpha}_f(x) .$$

Wir nehmen an, dass es für gegebenes BC (2) eine eindeutige Lösung gibt$\phi_{\rm cl}$zu den Euler-Lagrange-Gleichungen. OP ist an der (Dirichlet) On-Shell-Aktion interessiert, die als definiert ist

$$\tag{3} S[\phi_f,t_f; \phi_i,t_i] ~:=~ I[\phi_{\rm cl}; t_f,t_i].$$

Definieren Sie als Nächstes ein (Lagrange-)Impulsfeld

$$\tag{4} \pi_{\alpha}(x,t) ~:=~\frac{\partial {\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t)}{\partial \dot{\phi}^{\alpha}(x,t)},$$

und Energie

$$\tag{5} h(t)~:=~\int_{\Sigma} d^3x~\left(\sum_{\alpha}\pi_{\alpha}(x,t)\dot{\phi}^{\alpha}(x,t) -{\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t)\right).$$

Dann darf man feldtheoretisch zeigen$^{2}$Das

$$\tag{6} \frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}_f(x)}~=~ \pi_{\alpha}(x,t_f), \qquad \frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}_i(x)}~=~ -\pi_{\alpha}(x,t_i) ,$$

Und

$$\tag{7} \frac{\partial S}{\partial t_f}~=~-h(t_f), \qquad \frac{\partial S}{\partial t_i}~=~h(t_i).$$

Beispiel: Eine Freifeld-Lagrange-Dichte${\cal L} = \frac{1}{2}\phi^2$führt zu

$$\tag{8} S(\phi_f,t_f; \phi_i,t_i) ~=~ \frac{1}{2(t_f-t_i)} \int_{\Sigma} d^3x~(\phi_f(x)-\phi_i(x))^2 .$$

Verweise:

1. MTW ; Abschnitt 21.1 und Abschnitt 21.2.

2. LD Landau & EM Lifshitz, Mechanik, Bd. 1, 1976;$\S$43.

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$^1$Für Aktionen in der Punktmechanik siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

$^2$Für einen Proof-in-Point Mechanik siehe z. B. Ref. 2 und meine Phys.SE-Antwort hier .

Ja, das gibt es tatsächlich!

Erstens geht die normale Hamilton-Jacobi-Gleichung durch, sodass die Energie immer noch durch die zeitliche Ableitung der Einwirkung auf die Schale gegeben ist.

Aber das relevante lokale Objekt, das in der Feldtheorie am natürlichsten ist, ist der Spannungs-Energie-Impuls-Tensor, der Dichten und Flüsse von Energie und Impuls enthält. Die Frage, was geändert werden muss, um dies zu erreichen, ist zunächst vielleicht unklar: Die Antwort besteht darin, die Hintergrundgeometrie zu variieren, auf der die Theorie definiert ist.

Genauer gesagt variiert man die Metrik, die die lokalen Begriffe von Abständen und Winkeln definiert. Tatsächlich erweist sich dies am Ende als die beste Art, den Stress-Energie-Tensor zu definieren: Er ist (bis auf Konstanten) die Ableitung der Aktion in Bezug auf die Hintergrundmetrik.

Übrigens ist in Gravitationstheorien wie GR die Metrik selbst ein dynamisches Feld, so dass diese On-Shell-Variation der Aktion in Bezug auf die Metrik per Definition Null ist: Man kann eine „Materie“ -Stress-Energie definieren, indem man nur einen Teil davon einbezieht die Aktion, aber es gibt keine gute lokale Definition der Gesamtenergiedichte und verwandter Dinge in solchen Theorien.